偏微分方程：方程的导出和定解条件 / 波动方程

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definition

$u_{tt}-a^2\Delta u=0$ .

对于弦的情形就是一维的 (维数关注空间变量, 不考虑时间) $u_{tt}-a^2u_{xx}=0$

推导:

一根绷紧的线拨动一下, 也称弦振动方程.

假设线绷紧, 震荡幅度不大. 从而设每一点力大小相同. 每一点只做上下运动, 不做水平运动.

所以 $\sin\alpha\sim\tan\alpha$ .

用动量守恒. 考虑线范围 $(x,x+\delta x)$ , 注, 不是一段很小的距离.

\int_x^{x+\delta x}\rho u_t(x,t+\delta t)\text{d} x-\int_x^{x+\delta x}\rho u_t(x,t)\text{d} x=\int_t^{t+\delta t} \text{d} t

definition

初值(始)条件: $t=0$ 时刻的位移和速度. $\begin{aligned} u(x,0)&=\varphi(x)\\ u_t(x,0)&=\psi(x) \end{aligned}$

边界条件:

第一类 Dirichlet. 已知端点的位移变化 $\begin{cases} u(0,t)&=g_1(t)\\ u(l,t)&=g_2(t) \end{cases}$ 特别的, $g_1(t)=g_2(t)=0$ 时, 称具有固定端.
第二类 Neuman. 已知端点所受垂直于弦的外力作用. $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}(0,t)&=g_1(t)\\ \frac{\partial u}{\partial x}(l,t)&=g_2(t) \end{cases}$ 特别的, $g_1(t)=g_2(t)=0$ 时, 称具有自由端.
第三类 Robin. 端点位移与外力是线性组合. $\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}(0,t)+au(0,t)&=g_1(t)\\ \frac{\partial u}{\partial x}(l,t)+bu(l,t)&=g_2(t) \end{cases}$

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