实变函数：Lebesgue积分 / 补充内容

根据下极限的定义, 存在一个子列 $\{f_{k_i}(x)\}$ 使得

$$\lim\limits_{i\to\infty}\int_E f_{k_i}(x)\text{d} x=\varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x,$$

又 $\{f_k(x)\}$ 依测度收敛, 可得该子列也依测度收敛, 对其使用 Riesz 定理, 我们可以的到一个子列 $\{f_{k_j}(x)\}$ 满足积分极限与下极限相等并且几乎处处收敛到 $f(x)$. 再使用 Fatou 引理

$$\int_E f(x)\text{d} x = \int_E \lim\limits_{j\to\infty}f_{k_j}(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{j\to\infty }\int_E f_{k_j}(x)\text{d} x = \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x.$$

(1) 先证 $f(x)$ 可积, 由等度可积, 取 $\varepsilon=1$, 则存在 $\delta_1$ 使得 $\displaystyle\int_e |f_k(x)|\text{d} x<1,\ m(e)<\delta$, 于是我们可以将 $E$ 划分成有限个测度小于 $\delta_1$ 的部分 (例如用测度为 $\delta_1$ 的开矩体交 $E$). 那么存在 $N$ 有 $\displaystyle\int_E |f_k(x)|\text{d} x<N$.

又根据依测度收敛及 Riesz 定理, 存在一个几乎处处收敛的子列 $\{f_{k_i}(x)\}$, 该子列有积分小于 $N$, 从而说明其极限 $f(x)$ 积分小于 $N$.

(2) 由题设条件及积分的绝对连续性, 对任意的 $\varepsilon>0$, 存在 $\delta_2>0$ 使得

$$\int_e |f_k(x)|\text{d} x<\frac\varepsilon 3,\int_e|f(x)|\text{d} x<\frac \varepsilon 3\quad\forall m(e)<\delta_2$$

根据依测度收敛, 存在 $k_0$ 使得 $k\geqslant k_0$ 时, 有

$$m(\{x\in E:|f_k(x)-f(x)|> \frac\varepsilon{3m(E)}\})<\delta_2$$

记上述集合为 $E_\delta$, 从而有

$$\int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x=\int_{E\setminus E_\delta}|f_k(x)-f(x)|\text{d} x+\int_{E_\delta}|f_k(x)-f(x)|\text{d} x<\frac \varepsilon 3 + \frac \varepsilon 3+\frac\varepsilon 3=\varepsilon.$$

从而

$$\lim\limits_{k\to\infty} \left|\int_E f_k(x)-f(x)\text{d} x\right|\leqslant\lim\limits_{k\to\infty}\int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x = 0$$

即

$$\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.$$