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抽象代数：群 / 群的同态,正规子群,商群,群同态进本定理

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群的同态, 正规子群, 商群, 群同态基本定理 #

definition

若群 GG 到群 G~\widetilde{G} 有一个映射 σ\sigma, 使得

σ(ab)=σ(a)σ(b),∀a,b∈G.\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),\quad\forall a,b\in G.

则称 σ\sigma 是同态.

abstract
  • (1) σ(e)=e~\sigma(e)=\widetilde{e}.
  • (2) σ(a−1)=σ(a)−1\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}.
  • (3) 若 H<GH<G, 则 σ(H)<G~\sigma(H)<\widetilde{G}.
  • (4) ∣σ(a)∣∣∣a∣|\sigma(a)|\big||a|.
definition

Ker⁡σ:={a∈G∣σ(a)=e~}\Ker\sigma:=\{a\in G|\sigma(a)=\widetilde{e}\}, 称为 σ\sigma 的核.

tip

设 σ\sigma 是群同态, 则 ∀a∈G\forall a\in G, 有

a(Ker⁡σ)=(Ker⁡σ)a.a(\Ker\sigma)=(\Ker\sigma)a.
definition

如果群 GG 的子群 HH 满足: ∀a∈G\forall a\in G, 有

aH=Ha.aH=Ha.

那么称 HH 是 GG 的正规子群, 记作 H⊲GH\lhd G.

特别地, {e}\{e\} 和 GG 称为 GG 的平凡正规子群.

tip

群同态的核 Ker⁡σ\Ker\sigma 是 GG 的正规子群.

tip

群 GG 的子群 HH 是正规子群当且仅当

aHa−1=H,∀a∈G.aHa^{-1}=H,\quad\forall a\in G.
definition

设 HH 是 GG 的子群, 任取 a∈Ga\in G, aHa−1aHa^{-1} 也是 GG 的子群, 称之为 HH 的共轭子群.

tip

H⊲G⇔ ∀ a∈G,h∈H, aha−1∈HH\lhd G\Leftrightarrow\ \forall\ a\in G,h\in H,\ aha^{-1}\in H

definition

当 N⊲GN\lhd G 时, 有 (G/N)l=(G/N)r(G/N)_l=(G/N)_r, 此时记作 (G/N)(G/N). 并在其上定义乘法 (aN)(bN)=abN(aN)(bN)=abN. 可以验证, 在这个运算下 (G/N)(G/N) 构成群, 并称之为商群.

info

如果 HH 不是 GG 的正规子群, 那么考虑 GG 到左商集 (G/H)l(G/H)_l 上的映射 σ:a↦aH\sigma:a\mapsto aH 不是群同态, 因为 (G/H)l(G/H)_l 甚至不是群.

tip

设 GG 为有限群, N⊲GN\lhd G, 则 ∣G/N∣=∣G∣∣N∣.|G/N|=\dfrac{|G|}{|N|}.

tip

设 σ\sigma 是群 GG 到 G~\widetilde{G} 的一个同态, 则 Ker⁡σ\Ker\sigma 是 GG 的一个正规子群, 且

G/Ker⁡σ≅Im⁡σ.G/\Ker\sigma\cong\tIm\sigma.
tip

设 GG 是一个群, H<G,N⊲GH<G,N\lhd G, 则

  • (1) HN<GHN<G;
  • (2) H∩N⊲H, H/(H∩N)≅(HN)/NH\cap N\lhd H,\ H/(H\cap N)\cong (HN)/N.
tip

设 GG 是一个群, N⊲GN\lhd G, HH 是 GG 的包含 NN 的正规子群, 则 H/N⊲G/NH/N\lhd G/N, 且

(G/N)/(H/N)≅G/H.(G/N)/(H/N)\cong G/H.

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