群的同态,正规子群,商群,群同态进本定理

定义群同态

若群 $G$ 到群 $\widetilde{G}$ 有一个映射 $\sigma$ , 使得

\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b),\quad\forall a,b\in G.

则称 $\sigma$ 是同态.

性质

定义

$\Ker\sigma:=\{a\in G|\sigma(a)=\widetilde{e}\}$ , 称为 $\sigma$ 的核.

命题

设 $\sigma$ 是群同态, 则 $\forall a\in G$ , 有

a(\Ker\sigma)=(\Ker\sigma)a.

定义

如果群 $G$ 的子群 $H$ 满足: $\forall a\in G$ , 有

aH=Ha.

那么称 $H$ 是 $G$ 的正规子群, 记作 $H\lhd G$ .

特别地, $\{e\}$ 和 $G$ 称为 $G$ 的平凡正规子群.

命题

群同态的核 $\Ker\sigma$ 是 $G$ 的正规子群.

命题

群 $G$ 的子群 $H$ 是正规子群当且仅当

aHa^{-1}=H,\quad\forall a\in G.

定义

设 $H$ 是 $G$ 的子群, 任取 $a\in G$ , $aHa^{-1}$ 也是 $G$ 的子群, 称之为 $H$ 的共轭子群.

命题

$H\lhd G\Leftrightarrow\ \forall\ a\in G,h\in H,\ aha^{-1}\in H$

定义

当 $N\lhd G$ 时, 有 $(G/N)_l=(G/N)_r$ , 此时记作 $(G/N)$ . 并在其上定义乘法 $(aN)(bN)=abN$ . 可以验证, 在这个运算下 $(G/N)$ 构成群, 并称之为商群.

注

如果 $H$ 不是 $G$ 的正规子群, 那么考虑 $G$ 到左商集 $(G/H)_l$ 上的映射 $\sigma:a\mapsto aH$ 不是群同态, 因为 $(G/H)_l$ 甚至不是群.

命题

设 $G$ 为有限群, $N\lhd G$ , 则 $|G/N|=\dfrac{|G|}{|N|}.$

定理群同态基本定理

设 $\sigma$ 是群 $G$ 到 $\widetilde{G}$ 的一个同态, 则 $\Ker\sigma$ 是 $G$ 的一个正规子群, 且

G/\Ker\sigma\cong\tIm\sigma.

定理第一群同构定理

设 $G$ 是一个群, $H<G,N\lhd G$ , 则

定理第二群同构定理

设 $G$ 是一个群, $N\lhd G$ , $H$ 是 $G$ 的包含 $N$ 的正规子群, 则 $H/N\lhd G/N$ , 且

(G/N)/(H/N)\cong G/H.

群的同态, 正规子群, 商群, 群同态基本定理 #