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课程总纲 · 6 个单元 · 33 个知识点

常微分方程

从初值问题和一阶方程出发，学习高阶方程、线性系统与非线性系统的求解和定性分析。

章节与知识点

按《常微分方程及其应用》第二版目录组织六章，结合孙小丹课程讲义；以方程求解、解的基本理论和应用建模为主线，保留 Maple 计算工具附章。

  1. 第 1 章 引论

    章节框架

    由实际变化过程建立方程，理解初值问题、局部存在唯一性以及积分曲线的几何意义。

    《常微分方程及其应用》第二版第 1 章，目录第 v 页；孙小丹 ODE1_1、ODE1_2、ODE1_3 课件。

    1. 1.1 微分方程的概念和实例

      从变化率构造模型，辨认方程、解与初始条件。

    2. 1.2 解的存在唯一性

      通过积分方程与逐次逼近理解局部解的存在、唯一及其条件。

    3. 1.3 一阶微分方程的向量场

      用方向场和积分曲线连接方程表达式与解的几何图像。

  2. 第 2 章 一阶微分方程

    章节框架

    辨认一阶方程的结构，选择积分、变量替换或近似求解方法，并联系应用模型。

    《常微分方程及其应用》第二版第 2 章，目录第 v–vi 页；孙小丹 ODE2 系列课件。

    1. 2.1 线性方程

      学习齐次与非齐次方程的求解，并通过变量替换处理 Bernoulli 方程。

    2. 2.2 变量可分离的方程

      分离变量与化齐次代换，同时检查除法可能遗漏的解。

    3. 2.3 全微分方程

      从势函数理解全微分条件、积分路径与积分因子的作用。

    4. 2.4 变量替换法

      利用变量组合简化方程，并认识 Riccati 方程的结构。

    5. 2.5 一阶隐式微分方程

      借助微分法和参数法讨论隐式方程，区分通解、奇解与包络。

    6. 2.6 近似解法

      比较逐次迭代、Taylor 级数和 Euler 折线对解的近似方式。

    7. 2.7 一阶微分方程的应用

      在等角轨线、放射性废物处理和人口模型中连接建模与求解。

  3. 第 3 章 二阶及高阶微分方程

    章节框架

    从降阶方法过渡到线性方程的解结构，再用常系数方法处理振动与电路模型。

    《常微分方程及其应用》第二版第 3 章，目录第 vi–vii 页；孙小丹 ODE3 系列课件。

    1. 3.1 可降阶的高阶方程

      利用缺少某些变量或可积分的结构减少方程阶数。

    2. 3.2 线性微分方程的基本理论

      围绕初值问题、叠加原理及齐次和非齐次解的结构组织线性理论。

    3. 3.3 线性齐次常系数方程

      由特征根构造解，并认识某些变系数方程向常系数方程的转化。

    4. 3.4 线性非齐次常系数方程的待定系数法

      根据非齐次项的形式选择特解形式，并处理与齐次解重合的情形。

    5. 3.5 高阶微分方程的应用

      通过机械振动与 RLC 电路理解高阶线性模型。

  4. 第 4 章 微分方程组

    章节框架

    把多个状态变量统一为向量系统，学习消元、首次积分与常系数线性系统的求解。

    《常微分方程及其应用》第二版第 4 章，目录第 vii–viii 页；孙小丹 ODE4 系列课件。

    1. 4.1 微分方程组的概念

      从耦合模型认识方程组、函数向量、函数矩阵和初值问题。

    2. 4.2 微分方程组的消元法和首次积分法

      以消元化简系统，或寻找沿解保持不变的量。

    3. 4.3 线性微分方程组的基本理论

      用基本解矩阵描述齐次解，并联系非齐次系统的解结构。

    4. 4.4 常系数齐次线性微分方程组

      结合单重与重特征根讨论求解，理解矩阵指数的作用。

    5. 4.5 常系数非齐次线性微分方程组

      比较常数变易、线性变换与待定系数三类方法。

    6. 4.6 微分方程组应用举例

      在弹簧系统、复杂电路与卫星轨道问题中建立耦合方程。

  5. 第 5 章 非线性微分方程组

    已有部分内容

    不依赖显式通解，借助轨线、奇点、线性化和 Lyapunov 方法分析长期行为。

    《常微分方程及其应用》第二版第 5 章，目录第 viii–ix 页；孙小丹 ODE5 系列课件。

    1. 从自治系统、相空间和平衡点进入稳定性；现有笔记含局部存在唯一性与稳定性定义。

    2. 5.2 自治微分方程组解的性质

      考察自治系统的轨线特点与解的基本性质。

    3. 5.3 平面线性系统的奇点及相图

      联系特征值与平面轨线形态，辨认初等奇点。

    4. 5.4 几乎线性系统解的稳定性

      利用线性近似分析平衡点附近的稳定性及其适用边界。

    5. 5.5 Lyapunov 第二方法

      通过定号函数及其沿轨线的变化判断稳定性，理解二次型构造。

    6. 5.6 二维自治微分方程组的周期解和极限环

      区分周期轨线与极限环，讨论极限环的存在、不存在和稳定性。

  6. 第 6 章 Maple 简介与应用

    章节框架

    以符号运算、绘图和程序计算辅助微分方程学习，把计算结果与理论条件相互核对。

    《常微分方程及其应用》第二版第 6 章，目录第 ix–x 页；第二版前言说明此章为计算工具附章。

    1. 6.1 Maple 的基本功能

      认识工作环境、基本运算、多项式处理与语言转换。

    2. 6.2 微积分运算

      用符号计算处理极限、导数、积分、级数与积分变换。

    3. 6.3 线性代数

      进行矩阵运算、线性方程组求解及特征值分析。

    4. 6.4 图形

      用二维、三维图形和动画呈现函数与运动过程。

    5. 6.5 方程求解

      求解代数方程和常微分方程，并绘制微分方程向量场。

    6. 6.6 Maple 编程

      通过子程序与常用控制结构组织微分方程计算实验。

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