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实变函数：Lebesgue积分 / 非负可测函数的积分

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非负可测函数的积分 #

tip

设有定义在 EE 上的非负可测函数渐升列:

f1(x)⩽f2(x)⩽⋯⩽fk(x)⩽⋯ ,f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant \cdots \leqslant f_k(x)\leqslant\cdots,

且有 lim⁡k→∞fk(x)=f(x),x∈E\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),x\in E, 则

lim⁡k→∞∫Efk(x)dx=∫Ef(x)dx.\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.
note

设 c∈(0,1)c\in (0,1), h(x)h(x) 是 Rn\mathbb{R}^n 上任一非负可测简单函数, 满足 h(x)⩽f(x), x∈Eh(x)\leqslant f(x),\ x\in E, 记

Ek={x∈E:fk(x)⩾ch(x)},E_k=\{x\in E: f_k(x)\geqslant c h(x)\},

则 {Ek}\{E_k\} 是递增可测列, 且 lim⁡k→∞Ek=E\lim\limits_{k\to\infty}E_k=E. 则有

lim⁡k→∞c∫Ekh(x)dx=c∫Eh(x)dx,\lim\limits_{k\to\infty} c\int_{E_k} h(x) \text{d} x=c\int_E h(x)\text{d} x,

于是有不等式

∫Efk(x)dx⩾∫Ekfk(x)dx⩾c∫Ekh(x)dx\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant \int_{E_k} f_k(x)\text{d} x\geqslant c\int_{E_k} h(x)\text{d} x

得到 lim⁡k→∞∫Efk(x)dx⩾c∫Eh(x)dx\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant c\int_E h(x)\text{d} x. 再令 c→1c\to 1, 有

lim⁡k→∞∫Efk(x)dx⩾∫Eh(x)dx.\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant\int_E h(x)\text{d} x.

再根据积分定义知

lim⁡k→∞∫Efk(x)dx⩾∫Ef(x)dx.\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant\int_E f(x)\text{d} x.
tip

若 {fk(x)}\{f_k(x)\} 是 EE 上的非负可测函数列, 则

∫E∑k=1∞fk(x)dx=∑k=1∞∫Efk(x)dx.\int_E\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\text{d} x=\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x.
note

令 Sm(x)=∑k=1mfk(x)S_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m f_k(x), 则 {Sm(x)}\{S_m(x)\} 是 EE 上的非负可测函数渐升列, 且

lim⁡k→∞Sk(x)=∑k=1∞fk(x).\lim\limits_{k\to\infty} S_k(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x).

从而根据 Beppo Levi 可知

∫E∑k=1∞fk(x)dx=lim⁡m→∞∫ESm(x)dx=lim⁡m→∞∑k=1m∫Efk(x)dx=∑k=1∞∫Efk(x)dx.\int_E \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\text{d} x=\lim\limits_{m\to\infty}\int_E S_m(x)\text{d} x=\lim\limits_{m\to\infty}\sum\limits_{k=1}^m\int_E f_k(x)\text{d} x=\sum\limits_{k=1}^\infty\int_E f_k(x)\text{d} x.
example

若 E1,E2,⋯ ,EnE_1,E_2,\cdots,E_n 是 [0,1][0,1] 中的可测集, [0,1][0,1] 中每一点至少属于上述集合中的 kk 个, 则在 E1,⋯ ,EnE_1,\cdots,E_n 中必有一个点集的测度大于等于 kn\frac k n.

note

有 ∑i=1nXEi(x)⩾k\sum\limits_{i=1}^n \Chi_{E_i}(x)\geqslant k, 所以

∑i=1nm(Ei)=∑i=1n∫[0,1]XEi(x)dx=∫[0,1∑i=1nXEi(x)dx≥k.\sum\limits_{i=1}^n m(E_i)=\sum\limits_{i=1}^n\int_{[0,1]}\Chi_{E_i}(x)\text{d} x = \int_{[0,1}\sum\limits_{i=1}^n \Chi_{E_i}(x)\text{d} x\geq k.

若测度均小于 kn\frac k n, 则 ∑i=1nm(Ei)<k\sum\limits_{i=1}^n m(E_i)< k, 矛盾.

tip

若 {fk(x)}\{f_k(x)\} 是 EE 上的非负可测函数列, 则

∫Elim‾⁡k→∞fk(x)dx⩽lim‾⁡k→∞∫Efk(x)dx.\int_E\varliminf\limits_{k\to \infty}f_k(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x.
note

令 gk(x)=inf⁡{fj(x):j⩾k}g_k(x)=\inf\{f_j(x):j\geqslant k\}, 我们有 {gk(x)}\{g_k(x)\} 是非负渐升列, 于是

∫Elim‾⁡k→∞fk(x)dx=∫Elim⁡k→∞gk(x)dx=lim⁡k→∞∫Egk(x)dx⩽lim‾⁡k→∞∫Efk(x)dx.\int_E\varliminf\limits_{k\to\infty} f_k(x)\text{d} x = \int_E \lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)\text{d} x = \lim\limits_{k\to\infty}\int_E g_k(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x.
tip

设 f(x)f(x) 是 EE 上的几乎处处有限的非负可测函数, m(E)<+∞m(E)<+\infty. 在 [0,+∞)[0,+\infty) 上作如下划分:

0=y0<y1<⋯<yn<⋯→∞,0=y_0<y_1<\cdots<y_n<\cdots\to\infty,

其中 yk+1−yk<δy_{k+1}-y_k<\delta. 若令

Ek={x∈E:yk⩽f(x)<yk+1}E_k=\{x\in E: y_k\leqslant f(x)<y_{k+1}\}

则 f(x)f(x) 在 EE 上可积当且仅当级数

∑k=0∞ykm(Ek)<+∞\sum\limits_{k=0}^\infty y_km(E_k)<+\infty

此时有

lim⁡δ→0∑k=0∞ykm(Ek)=∫Ef(x)dx.\lim\limits_{\delta\to 0}\sum\limits_{k=0}^\infty y_k m(E_k)=\int_E f(x)\text{d} x.

特别的我们取 yi=iy_i=i, 则有可积性等价于

∑k=1∞km(Ek)<+∞\sum\limits_{k=1}^\infty km(E_k)<+\infty
note
ykm(Ek)⩽∫Ekfdx⩽yk+1m(Ek)y_km(E_k)\leqslant \int_{E_k} f\text{d} x\leqslant y_{k+1}m(E_k) ∑k=0∞ykm(Ek)⩽∫Ef(x)dx⩽∑k=0∞yk+1m(Ek)⩽δm(E)+∑k=0∞ykm(Ek)\sum\limits_{k=0}^\infty y_km(E_k)\leqslant \int_E f(x)\text{d} x\leqslant \sum\limits_{k=0}^\infty y_{k+1}m(E_k)\leqslant \delta m(E)+\sum\limits_{k=0}^\infty y_k m(E_k)
example

设 E⊂R:m(E)<+∞E\subset\mathbb{R}: m(E)<+\infty, f(x)f(x) 是 EE 上的非负实值可测函数, 则 f(x)f(x) 在 EE 上可积的充要条件是

∑n=0∞m({x∈E:f(x)⩾n})<+∞\sum\limits_{n=0}^\infty m(\{x\in E:f(x)\geqslant n\})<+\infty
note
∑n=0∞m({x∈E:f(x)⩾n})=∑k=0∞(k+1)m({x∈E:k⩽f(x)<k+1})<+∞.\sum\limits_{n=0}^\infty m(\{x\in E: f(x)\geqslant n\})=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)m(\{x\in E:k\leqslant f(x)<k+1\})<+\infty.

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