非负可测函数的积分

定理 Beppo Levi

设有定义在 $E$ 上的非负可测函数渐升列:

f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant \cdots \leqslant f_k(x)\leqslant\cdots,

且有 $\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),x\in E$ , 则

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.

证明

设 $c\in (0,1)$ , $h(x)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上任一非负可测简单函数, 满足 $h(x)\leqslant f(x),\ x\in E$ , 记

E_k=\{x\in E: f_k(x)\geqslant c h(x)\},

则 $\{E_k\}$ 是递增可测列, 且 $\lim\limits_{k\to\infty}E_k=E$ . 则有

\lim\limits_{k\to\infty} c\int_{E_k} h(x) \text{d} x=c\int_E h(x)\text{d} x,

于是有不等式

\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant \int_{E_k} f_k(x)\text{d} x\geqslant c\int_{E_k} h(x)\text{d} x

得到 $\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant c\int_E h(x)\text{d} x$ . 再令 $c\to 1$ , 有

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant\int_E h(x)\text{d} x.

再根据积分定义知

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x\geqslant\int_E f(x)\text{d} x.

定理逐项积分定理

若 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的非负可测函数列, 则

\int_E\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\text{d} x=\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x.

证明

令 $S_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m f_k(x)$ , 则 $\{S_m(x)\}$ 是 $E$ 上的非负可测函数渐升列, 且

\lim\limits_{k\to\infty} S_k(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x).

从而根据 Beppo Levi 可知

\int_E \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)\text{d} x=\lim\limits_{m\to\infty}\int_E S_m(x)\text{d} x=\lim\limits_{m\to\infty}\sum\limits_{k=1}^m\int_E f_k(x)\text{d} x=\sum\limits_{k=1}^\infty\int_E f_k(x)\text{d} x.

例

若 $E_1,E_2,\cdots,E_n$ 是 $[0,1]$ 中的可测集, $[0,1]$ 中每一点至少属于上述集合中的 $k$ 个, 则在 $E_1,\cdots,E_n$ 中必有一个点集的测度大于等于 $\frac k n$ .

证明

有 $\sum\limits_{i=1}^n \Chi_{E_i}(x)\geqslant k$ , 所以

\sum\limits_{i=1}^n m(E_i)=\sum\limits_{i=1}^n\int_{[0,1]}\Chi_{E_i}(x)\text{d} x = \int_{[0,1}\sum\limits_{i=1}^n \Chi_{E_i}(x)\text{d} x\geq k.

若测度均小于 $\frac k n$ , 则 $\sum\limits_{i=1}^n m(E_i)< k$ , 矛盾.

定理 Fatou

若 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的非负可测函数列, 则

\int_E\varliminf\limits_{k\to \infty}f_k(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x.

证明

令 $g_k(x)=\inf\{f_j(x):j\geqslant k\}$ , 我们有 $\{g_k(x)\}$ 是非负渐升列, 于是

\int_E\varliminf\limits_{k\to\infty} f_k(x)\text{d} x = \int_E \lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)\text{d} x = \lim\limits_{k\to\infty}\int_E g_k(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x.

定理

设 $f(x)$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的非负可测函数, $m(E)<+\infty$ . 在 $[0,+\infty)$ 上作如下划分:

0=y_0<y_1<\cdots<y_n<\cdots\to\infty,

其中 $y_{k+1}-y_k<\delta$ . 若令

E_k=\{x\in E: y_k\leqslant f(x)<y_{k+1}\}

则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积当且仅当级数

\sum\limits_{k=0}^\infty y_km(E_k)<+\infty

此时有

\lim\limits_{\delta\to 0}\sum\limits_{k=0}^\infty y_k m(E_k)=\int_E f(x)\text{d} x.

特别的我们取 $y_i=i$ , 则有可积性等价于

\sum\limits_{k=1}^\infty km(E_k)<+\infty

证明

y_km(E_k)\leqslant \int_{E_k} f\text{d} x\leqslant y_{k+1}m(E_k)

\sum\limits_{k=0}^\infty y_km(E_k)\leqslant \int_E f(x)\text{d} x\leqslant \sum\limits_{k=0}^\infty y_{k+1}m(E_k)\leqslant \delta m(E)+\sum\limits_{k=0}^\infty y_k m(E_k)

例

设 $E\subset\mathbb{R}: m(E)<+\infty$ , $f(x)$ 是 $E$ 上的非负实值可测函数, 则 $f(x)$ 在 $E$ 上可积的充要条件是

\sum\limits_{n=0}^\infty m(\{x\in E:f(x)\geqslant n\})<+\infty

证明

\sum\limits_{n=0}^\infty m(\{x\in E: f(x)\geqslant n\})=\sum\limits_{k=0}^\infty (k+1)m(\{x\in E:k\leqslant f(x)<k+1\})<+\infty.

非负可测函数的积分 #