外侧度 | nan2inf.cn

内、外侧度 #

定义

设 $E\subset \mathbb{R}^n$ . 若 $\{I_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的可数个开矩体, 且有

E\subset\bigcup\limits_{k\geqslant 1}I_k,

则称 $\{I_k\}$ 为 $E$ 的一个L-覆盖. 称

m^*(E)=\inf\left\lbrace\sum\limits_{k\geqslant 1}|I_k|:\{I_k\}\ \text{为}\ E\ \text{的}\ L\text{-覆盖}\right\rbrace

为点集 $E$ 的 Lebesgue 外侧度.

定理 R^n 中点集的外侧度性质

[leftmargin=1.5cm]

(1) 非负性: $m^*(E)\geqslant 0$ , $m^*(\varnothing)=0$ .
(2) 单调性: 若 $E_1\subset E_2$ , 则 $m^*(E_1)\leqslant m^*(E_2)$ .
(3) 次可列可加性: $m^*\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k\right)\leqslant\sum\limits_{k=1}^\infty m^*(E_k)$ .

引理

设 $E\subset\mathbb{R}^n$ , $\delta>0$ , 令

m_\delta^*(E)=\inf\left\lbrace\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|:\bigcup\limits_{k=1}^\infty I_k\supset E,\ \text{每个开矩体的边长}<\delta\right\rbrace,

则 $m_\delta^*(E)=m^*(E)$ .

定理有限可加性

设 $E_1,E_2\subset\mathbb{R}^n$ . 若 $d(E_1,E_2)=\inf\limits_{\bm x\in E_1}\inf\limits_{\bm y\in E_2}|\bm x-\bm y|>0$ 则

m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2).

定义

设 $E\subset \mathbb{R}^n$ , $A$ 是开矩体且 $A\supset E$ . 令

m_*(E)=\sup\left\lbrace|A|-\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|:\{I_k\}\ \text{是}\ A\backslash E\ \text{的一个开覆盖}\right\rbrace,

则称 $m_*(E)$ 为 $E$ 的内侧度.

显然有 $m_*(E)=|A|-m^*(A\backslash E)\leqslant m^*(E)$ .

定义

当 $m_*(E)=m^*(E)$ 时称 $E$ 可测, 记作 $m(E)$ .

例 P66 例2

设 $I$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开矩体 $\overline{I}$ 是闭矩体, 则 $m^*(\overline{I})=|I|$ .