实变函数：Lebesgue测度 / 外侧度

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内、外侧度 #

definition

设 $E\subset \mathbb{R}^n$. 若 $\{I_k\}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的可数个开矩体, 且有

$$E\subset\bigcup\limits_{k\geqslant 1}I_k,$$

则称 $\{I_k\}$ 为 $E$ 的一个L-覆盖. 称

$$m^*(E)=\inf\left\lbrace\sum\limits_{k\geqslant 1}|I_k|:\{I_k\}\ \text{为}\ E\ \text{的}\ L\text{-覆盖}\right\rbrace$$

为点集 $E$ 的 Lebesgue 外侧度.

{{< admonition tip “定理 $\mathbb{R}^n$ 中点集的外侧度性质” true >}} \

[leftmargin=1.5cm]

• (1) 非负性: $m^*(E)\geqslant 0$, $m^*(\varnothing)=0$.
• (2) 单调性: 若 $E_1\subset E_2$, 则 $m^*(E_1)\leqslant m^*(E_2)$.
• (3) 次可列可加性: $m^*\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k\right)\leqslant\sum\limits_{k=1}^\infty m^*(E_k)$.

tip

设 $E\subset\mathbb{R}^n$, $\delta>0$, 令

$$m_\delta^*(E)=\inf\left\lbrace\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|:\bigcup\limits_{k=1}^\infty I_k\supset E,\ \text{每个开矩体的边长}<\delta\right\rbrace,$$

则 $m_\delta^*(E)=m^*(E)$.

tip

设 $E_1,E_2\subset\mathbb{R}^n$. 若 $d(E_1,E_2)=\inf\limits_{\bm x\in E_1}\inf\limits_{\bm y\in E_2}|\bm x-\bm y|>0$ 则

$$m^*(E_1\cup E_2)=m^*(E_1)+m^*(E_2).$$

definition

设 $E\subset \mathbb{R}^n$, $A$ 是开矩体且 $A\supset E$. 令

$$m_*(E)=\sup\left\lbrace|A|-\sum\limits_{k=1}^\infty|I_k|:\{I_k\}\ \text{是}\ A\backslash E\ \text{的一个开覆盖}\right\rbrace,$$

则称 $m_*(E)$ 为 $E$ 的内侧度.

显然有 $m_*(E)=|A|-m^*(A\backslash E)\leqslant m^*(E)$.

definition

当 $m_*(E)=m^*(E)$ 时称 $E$ 可测, 记作 $m(E)$.

例题 #

example

设 $I$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开矩体 $\overline{I}$ 是闭矩体, 则 $m^*(\overline{I})=|I|$.