泛函分析-徐小绪：2025 / 251117

考虑第二共轭空间的自然嵌入 $J_x(f)=f(x)$. 有 $\Vert J_x \Vert=\Vert x \Vert$.

由 $\forall f$ $\lbrace f(x_n)\rbrace$ 有界, 即对于 $\lbrace J_{x_n}\rbrace$ 来说点点有界, 那么根据一致有界定理知存在 $M$, 满足 $\norm{J_{x_n}}\leqslant M$.

又 $\Vert x_n \Vert=\norm{J_{x_n}}$. 从而 $\lbrace x_n\rbrace$ 有界.

$\Rightarrow$: 根据算子范数的定义, 我们有

从而

$\Leftarrow$: 设 $Y=\text{span}\lbrace x_1,\ldots,x_n\rbrace$, 由于 $\lbrace x_k\rbrace$ 线性无关, 所以 $Y$ 中元素可表示为 $\sum\limits_{k}\alpha_k x_k$. 再设 $g(\sum\limits_{k}\alpha_k x_k)=\sum\limits_{k}\alpha_k C_k$, 显然是 $Y$ 上的线性泛函, 且由条件受 $M\norm{\sum\limits_{k}\alpha_kx_k}$ 控制, 那么由 Hahn-Banach 定理可以将 $g(x)$ 延拓到 $X$ 上. 且满足 $f(x)=g(x), x\in Y$, $|f(x)|\leqslant M\Vert x \Vert$.

令 $Y=\text{span}\lbrace x_1,\ldots,x_n\rbrace$, 由于 $\lbrace x_n\rbrace$ 线性无关, 故 $Y$ 中元素可表示为其线性组合, 设 $g_i:Y\to\mathbb K$, $g_i(\sum\limits_{k}\alpha_k x_k)=\alpha_i$.

显然 $g_i$ 是 $Y$ 上的连续泛函, 从而有界. 那么根据上题结论知, 可以延拓到 $X$ 上且满足 $g_i(x_j)=\delta_{ij}$.

反设 $x_2\in C$, 那么线段 $[x_0,x_2]\subset{C}$, 由 $x_0\in\overset{\circ}{C}$,存在 $r>0$, $B(x_0,r)\subset C$.

由 $x_1=\frac{1}{m}x_2+(1-\frac1m) x_0$.

取 $\Vert u \Vert<(1-\frac1m)r$. 从而 $x_0+\frac{u}{1-1/m}\in C$. 则 $x_1+u=\frac1m x_2+(1-\frac1m)(x_0+u/(1-\frac 1m))\in C$.

从而 $B(x_1,(1-\frac 1m)r)\subset C$. 即 $x_1\in\overset{\circ}{C}$ 与 $x_1\in\partial C$ 矛盾.