多元函数的微分

微分的定义 #

定义可微

设 $E \subseteq \set R n$ , $f:E \to \set R m$ . 又设 $\bm a$ 是 $E$ 的一个内点. 若存在线性映射 $L:\set R n \to \set R m$ 使得

\lim\limits_{\bm h \to 0} \dfrac{f(\bm a+\bm h)-f(\bm a)-L\bm h}{|\bm h|}=\bm 0,

则称 $f$ 在 $\bm a$ 处可微. 若 $f$ 在 $E$ 中每个点处均可微, 我们就称 $f$ 在 $E$ 上可微.

方向导数与偏导数 #

定义方向导数

设 $E \subseteq \set R n$ , $f:E\to \set Rm$ , 且 $\bm a$ 是 $E$ 的一个内点. 对 $\set Rn$ 中给定的非零向量 $\bm u$ , 若极限

\lim\limits_{t\to0} \dfrac{f(\bm a+t\bm u)-f(\bm a)}{t}

存在, 我们就称 $f$ 在 $\bm a$ 处沿方向 $\bm u$ 是可微的, 并将上述极限称为 $f$ 在 $\bm a$ 处沿方向 $\bm u$ 的方向导数, 记作 $\dfrac{\partial f}{\partial\bm u}(\bm a)$ .

命题

设 $E\subseteq \set Rn$ , $f:E\to \set Rm$ , 且 $\bm a$ 是 $E$ 的一个内点. 若 $f$ 在 $\bm a$ 处可微, 则 $f$ 在 $\bm a$ 处的所有方向导数均存在, 并且对于 $\set Rn$ 中的任意非零向量 $\bm u$ 有

\dfrac{\partial f}{\partial \bm u}(\bm a)=f'(\bm a)\bm u.

定义雅可比矩阵

f'(\bm a)= \begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1}(\bm a) & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2}(\bm a) & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n}(\bm a) \\[4mm] \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1}(\bm a) & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2}(\bm a) & \cdots & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n}(\bm a) \\[4mm] \vdots & \vdots & & \vdots \\[4mm] \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1}(\bm a) & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_2}(\bm a) & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}(\bm a) \end{bmatrix}

定义偏导数的链式法则

如果 $f(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ 是一个 $m$ 元可微函数, 并且每个 $x_j$ 均是 $n$ 元可微函数 $x_j(t_1,t_2,\ldots,t_n)$ , 那么我们也可以把 $f$ 看作变量 $t_1,t_2,\ldots,t_n$ 的函数, 于是由链式法则及上述雅可比矩阵表示可知

因此对 $1\leqslant j\leqslant n$ 有

\frac{\partial f}{\partial t_j} = \sum\limits_{i=1}^m\frac{\partial f}{\partial x_i}\cdot\frac{\partial x_i}{\partial t_j}.

这一公式也被称作偏导数的链式法则.

有限增量定理 #

定义范数

设 $L \in \mathcal{L}(\set R n,\set R m)$ , 定义 $L$ 的范数 $\|L\|$ 为

\|L\|=\sup\limits_{|\bm h |=1}|L\bm h|.

并且我们有 $|L\bm x|\le \|L\|\cdot |\bm x|, \qquad \forall \bm x \in \set R n$ .

定理有限增量定理

设 $E$ 是 $\set R n$ 中的凸开集, $f:E\to \set R m$ 在 $E$ 上可微, 且存在 $M>0$ 使得对任意的 $\bm x \in E$ 均有 $\|f'(\bm x)\| \le M$ . 那么对任意的 $\bm a,\bm b \in E$ 有

|f(\bm b)-f(\bm a)|\leqslant M|\bm b-\bm a|.

反函数定理 #

定理反函数定理

设 $E$ 是 $\set R n$ 中的开集, $f:E \to \set R n$ 且 $f \in C^1(E)$ . 又设 $\bm a \in E$ . 若 $f'(\bm a)$ 非奇异, 那么必存在 $\bm a$ 的邻域 $U$ 使得 $V=f(U)$ 是 $\set R n$ 中的开集, 且 $f|_U:U\to V$ 是双射. 此外, $g$ 表示 $f|_U$ 的逆映射, 则 $g \in C^1(V)$ , 并且对任意的 $\bm y \in V$ 有

g'(\bm y)=f'(g(\bm y))^{-1}.

换种说法, 如果有

$E$ 是 $\set R n$ 中的开集.
$f:E\to \set R n$ 且 $f \in C^1(E)$
$\bm a \in E$ , $f'(\bm a)$ 非奇异, 即 $\det f'(\bm a) \neq 0$

那么

存在 $\bm a$ 的邻域 $U$ 使得 $V=f(U)$ 是 $\set R n$ 中的开集
$f|_U:U\to V$ 是双射.
若设 $g=f|_U^{-1}$ 则 $g\in C^1(V)$ , 并且对任意的 $\bm y\in V$ 有

g'(\bm y)=f'(g(\bm y))^{-1}.

隐函数定理 #

定理隐函数定理

设 $E$ 是 $\set R {n+m}$ 中的开集, $f=(f_1,f_2,\ldots,f_m)^T:E\to \set R m$ 连续可微. 又设 $\bm a \in \set R n$ 及 $\bm b \in \set R m$ , 使得 $(\bm a,\bm b) \in E$ 且 $f(\bm a, \bm b)=\bm 0$ . 现将 $f$ 的雅可比矩阵写成如下分块矩阵

\left[\dfrac{\partial f}{\partial \bm x}\quad \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}\right]

的形式, 其中

\dfrac{\partial f}{\partial\bm x}=\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{1\le i \le m, 1\le j \le n},\qquad \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}=\left(\dfrac{\partial f_i}{\partial x_{n+j}}\right)_{1 \le i,j \le m}.

那么当

\det \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}(\bm a,\bm b)\neq0

时, 存在 $\bm a$ 的邻域 $U$ , $\bm b$ 的邻域 $V$ 以及唯一的连续可微映射 $g:U\to V$ , 使得

(1) $g(\bm a)=\bm b$ .
(2) 对任意的 $\bm x \in U$ 有 $f(\bm x,g(\bm x))=\bm 0$ .
(3) 对任意的 $\bm x \in U$ 有 $\det \dfrac{\partial f}{\partial \bm y}(\bm x,g(\bm x))\neq 0$ , 并且

g'(\bm x)=-\left(\dfrac{\partial f}{\partial \bm y}(\bm x,g(\bm x))\right)^{-1}\dfrac{\partial f}{\partial \bm x}(\bm x,g(\bm x)).

定义

在上述定理中, $y=g(\bm x)$

微分的定义 #

方向导数与偏导数 #

有限增量定理 #

反函数定理 #

隐函数定理 #

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