整环的整除性 | nan2inf.cn

整除关系, 不可约元, 素元, 最大公因子 #

定义

设 $R$ 是整环, 对于 $a,b\in R$ , 若存在 $c\in R$ , 使得 $a=bc$ , 则称 $b$ 整除 $a$ , 记作 $b\mid a$ . 否则称 $b$ 不能整除 $a$ , 记作 $b \nmid a$ . 当 $b\mid a$ 时, 称 $b$ 是 $a$ 的因子, $a$ 是 $b$ 的倍元.

性质

[leftmargin=1.5cm]

(1) 由整除的定义立即得到: 在整环 $R$ 中, $b\mid a\Leftrightarrow (a)\subseteq(b)$ .
(2) 任意元素都是 $0$ 的一个因子. 特别的, $0$ 也是 $0$ 的因子.
(3) 在整环中 $u\t{ 可逆}\Leftrightarrow\ \exists\ v\in R,\ s.t.\ uv=1\Leftrightarrow u\mid 1\Leftrightarrow 1\in (u)\Leftrightarrow (u)=R$ .
(4) 设 $u$ 可逆, 则 $\forall\ a\in R,$ 有 $a=u(u^{-1}a)$ , 从而 $u\mid a$ . 因此可逆元是 $R$ 中任意元素的因子.
(5) 若 $b\mid a_1,b\mid a_2$ 则有

b\mid(r_1a_1+r_2a_2),\quad\forall\ r_1,r_2\in R.

定义

在整环 $R$ 中, 若 $b\mid a\wedge a\mid b$ , 则称 $a$ 与 $b$ 相伴, 记作 $a\sim b$ .

容易验证, 相伴是 $R$ 上的一个等价关系.

命题

在整环 $R$ 中, $a\sim b$ 当且仅当存在可逆元 $u$ 使得 $a=bu$ .

推论

在整环 $R$ 中, 若 $a\sim b,c\sim d$ , 则 $ac\sim bd$ .

定义

在整环 $R$ 中, 若 $b\mid a$ 但是 $a\nmid b$ (即 $b$ 是 $a$ 的一个因子, 但是 $b$ 不是 $a$ 的相伴元), 则称 $b$ 是 $a$ 的一个真因子.

定义

在整环 $R$ 中, $a$ 的任一相伴元, 以及 $R$ 中任一可逆元都是 $a$ 的因子, 称这些因子是 $a$ 的平凡因子. 其他因子称为 $a$ 的非平凡因子.

定义

在整环 $R$ 中, 设 $a\neq 0$ , 且 $a$ 不可逆. 如果 $a$ 只有平凡因子, 那么称 $a$ 是不可约的, 否则称 $a$ 是可约的.

利用相伴的性质可以推出, 不可约元的相伴元也是不可约元.

定义

设 $a\neq 0$ , 且 $a$ 不可逆. 如果从 $a\mid bc$ 可以推出 $a\mid b$ 或 $a\mid c$ , 那么称 $a$ 是一个素元.

命题

在整环 $R$ 中, 素元一定是不可约元.

命题

在整环 $R$ 中, $a$ 为素元当且仅当 $(a)$ 是非零素理想

定义

在整环 $R$ 中, 对于 $a,b\in R$ . 如果有 $c\in R$ 使得 $c\mid a\wedge c \mid b$ 那么称 $c$ 是 $a$ 与 $b$ 的一个公因子. 如果 $a$ 与 $b$ 的一个公因子 $d$ 满足: 对于 $a,b$ 的任一公因子 $c$ 有 $c\mid d$ . 那么称 $d$ 是 $a,b$ 的一个最大公因子.

性质

若 $d_1,d_2$ 是 $a$ 与 $b$ 的最大公因子, 那么从定义 \ref{最大公因子} 得出, $d_1\sim d_2$ . 反之, 若 $d_1$ 是 $a,b$ 的最大公因子, 且 $d_1\sim d_2$ , 则 $d_2$ 也是 $a$ 与 $b$ 的一个最大公因子. 记作 $(a,b)$ .

命题

在整环 $R$ 中, 如果每一对元素都有最大公因子, 那么对任意 $a,b,c\in R$ , 有 $(ca,cb)\sim c(a,b)$ .

欧几里得整环, 主理想整环, 唯一因子分解整环 #

定义

设 $R$ 为整环, 如果存在 $R^*\ (R^*=R\backslash\{0\})$ 到 $\mathbb{N}$ 的一个映射 $\delta$ , 使得对任意 $a,b\in R\wedge b\neq 0$ , 都有 $h,r\in R$ 满足

a=hb+r,\quad r=0\ \t{或}\ r\neq0\ \t{且}\ \delta(r)<\delta(b),

那么称 $R$ 是一个欧几里得整环.

定理

欧几里得整环 $R$ 的每一个理想都是主理想.

定义

设 $R$ 为整环, 如果 $R$ 的每一个理想都是主理想, 那么称 $R$ 是一个主理想整环.

定理

设 $R$ 是主理想整环, 则

a\ \t{是}\hr{不可约元}\Leftrightarrow (a) \t{ 是非零}\hr{极大理想}.

推论

设 $R$ 是主理想整环, 则 $R$ 的不可约元 $a$ 一定是素元.

定义

整环 $R$ 如果满足下列两个条件: [leftmargin=1.5cm]

(1) $R$ 中每个非零且不可逆的元素 $a$ 可以分解成有限多个不可约元的乘积

a=p_1p_2\cdots p_s;

(2) 上述分解在相伴的意义下是唯一的, 即如果 $a$ 有两个这样的分解式:

a=p_1p_2\cdots p_s=q_1q_2\cdots q_t

那么 $s=t$ , 并且可以通过适当的调换位置使得 $p_i\sim q_i$ .

那么称 $R$ 是一个唯一因子分解整环或者高斯整环.

定理

整环 $R$ 如果满足下列两个条件: [leftmargin=1.5cm]

(1) 因子链条件: 在整环 $R$ 中, 如果序列 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 中, 每一个 $a_i$ 是 $a_{i-1}$ 的真因子, 那么这个序列是有限序列.
(2) 每一个不可约元都是素元.

那么称 $R$ 是唯一因子分解整环.

命题

设 $R$ 是整环, 如果 $R$ 的每一对元素都有最大公因子, 那么 $R$ 的每一个不可约元都是素元.

基于上述命题, 我们可以将定理 \ref{整环的整除性定理4} 中的条件 $2$ 进行替换.

定理

若 $R$ 是唯一因子分解整环, 则 $R$ 的每一对元素都有最大公因子.

定理

主理想整环都是唯一因子分解整环.

定义

设 $R$ 是唯一因子分解整环, 任给 $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in R[x]$ . 用 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ 表示 $a_0,a_1,\ldots,a_n$ 的最大公因子. 如果有 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)\sim 1$ , 那么称 $f$ 是一个本原多项式.

命题

$R[x]$ 中的可逆元只能是 $0$ 次多项式, 且是 $R$ 的可逆元. 反之, $R$ 的可逆元也是 $R[x]$ 的可逆元. 根据定义, $R[x]$ 的可逆元是零次本原多项式.

命题

若 $p(x)$ 是 $R[x]$ 中的一个不可约元, 则 $p(x)\neq 0$ , $p(x)$ 不是 $R$ 的可逆元, 并且 $p(x)$ 的因式只有 $R$ 的可逆元和 $p(x)$ 的相伴元. 从而 $p(x)$ 要么是 $R$ 的一个不可约元, 要么是一个次数大于 $0$ 的不可约的本原多项式.

反之, $R[x]$ 的一个不可约的本原多项式是 $R[x]$ 的一个不可约元.

引理

设 $R$ 是唯一因子分解整环, 则 $R[x]$ 中任一非零多项式 $f(x)$ 可以写成

f(x)=df_1(x),

其中 $d\in R$ 且 $d\neq 0$ , $f_1(x)$ 是一个本原多项式, 并且 $d$ 和 $f_1(x)$ 在相伴的意义下由 $f(x)$ 唯一确定.

引理高斯引理

设 $R$ 是唯一因子分解整环, 则 $R[x]$ 中两个本原多项式的乘积还是本原多项式.

引理

设 $R$ 是唯一因子分解整环, $F$ 是 $R$ 的分式域, 则 $R[x]$ 中两个本原多项式 $g(x)$ 与 $f(x)$ 在 $F[x]$ 中相伴当且仅当 $g(x)$ 与 $h(x)$ 在 $R[x]$ 中相伴.

引理

诺特环 #

定义

设 $R$ 是一个交换环, 如果 $R$ 的每一条理想升链

I_1\subsetneqq I_2\subsetneqq I_3\subsetneqq\cdots

都有限, 那么称 $R$ 满足理想升链条件, 此时称 $R$ 是一个诺特环 (Noether ring).

推论

主理想整环都是诺特环.

证明

因为主理想整环都是唯一因子分解整环, 则对于该环的每一个理想升链, 取其中每个主理想的代表元, 就构成了一个因子链, 从而是有限的.

定理

设 $R$ 是一个交换环, 则 $R$ 是诺特环当且仅当 $R$ 的每一个理想都是有限生成的.

定理希尔伯特 (Hilbert) 基定理

如果 $R$ 是一个有单位元 $1(\neq 0)$ 的诺特环, 那么 $R$ 上的一元多项式环 $R[x]$ 也是诺特环.

推论

如果 $R$ 是有幺元的诺特环, 那么 $R$ 上的 $n$ 元多项式环 $R[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 也是诺特环.

证明

考虑 $R[x_1,x_2]$ 可以视作 $R[x_1]$ 上的一元多项式环 $R[x_1][x_2]$ , 从而利用归纳法可知 $n$ 元多项式环也是诺特环.

命题

域 $F$ 是诺特环, 因为 $F$ 只有平凡的理想, 从而 $F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 是诺特环. 因此 $F[x_1,x_2\ldots,x_n]$ 的每个理想都是有限生成的.

整除关系, 不可约元, 素元, 最大公因子 #

欧几里得整环, 主理想整环, 唯一因子分解整环 #

诺特环 #

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