Fourier 分析初步

定义

设 $S$ 是一个非空集合，我们用 $\mathbb{C}^S$ 表示从 $S$ 到 $\mathbb{C}$ 的全部映射所成之集，也即定义在 $S$ 上的全体复值函数所成之集。

对任意的 $f,g\in\mathbb{C}^S$ 以及 $\lambda\in \mathbb{C}$ , 令

\begin{aligned} (f+g)(x)=f(x)+g(x), \\ (\lambda f)(x)=\lambda f(x), \end{aligned} \quad\forall x\in S.

则在上述运算下 $\mathbb{C}^S$ 是 $\mathbb{C}$ 上的线性空间, 从而 $\mathbb{C}^S$ 有一个基.

Fourier 级数定义 #

定义复值函数积分

对于复值函数 $g(x)=u(x)+\mathrm{i} v(x),\ u(x),v(x)\in \mathbb{R}[x]$ . 若 $u(x),v(x)$ 均在 $[a,b]$ 上可积, 则定义

\int_a^b g(x)\text{d} x=\int_a^b u(x)\text{d} x+\mathrm{i}\int_a^b v(x)\text{d} x.

不难验证, 按上述定义的复值函数积分, 也满足实值函数积分的运算法则, 如分部积分以及微积分学基本定理.

定义

设 $\mathcal{l}$ 是一个正常数, 记 $e(t):=e^{2\pi \mathrm{i} t}$ , 我们称形如

\frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi nx}{\mathcal l}+b_n\sin\frac{2\pi nx}{\mathcal l}\right)

\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal{l}}\right)

这类关于变量 $x$ 的函数项级数称为三角级数（trigonometric series）, 其中后一种级数的收敛是指极限

\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=-N}^N c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal l}\right)

存在。以上两个级数的部分和称为三角多项式（trigonometric polynomial）。

利用欧拉公式 $e^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta$ , 我们可以探究上述两种形式之间的关系。

如果记

\begin{cases} c_0 = \dfrac{a_0} 2,\\[10pt] c_n = \dfrac{a_n-\text{i} b_n} 2,\ \ c_{-n} = \dfrac{a_n+\text{i} b_n} 2,\quad \forall n\geqslant 1. \end{cases}

那么就可以将第一种形式变为第二种形式。

注

$a_n,b_n\in\mathbb{R}\Leftrightarrow c_n=\overline{c_{-n}}$ .

我们把在区间 $[a,b]$ 上黎曼可积, 或者在 $[a,b]$ 上有有限多个奇点但积分 $\int_a^b |f(x)|\text{d} x$ 收敛的全体实值函数所成之集记作 $\mathscr{R}[a,b]$ .

定义

设 $\mathcal l$ 是一个正实数, $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的以 $\mathcal l$ 为周期的函数, 并且 $f\in \mathscr{R}[0,\mathcal l]$ .

我们记

a_n=\frac 2{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{2\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.

b_n=\frac 2{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{2\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.

c_n=\frac 1{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)e\left(-\frac{nx}{\mathcal l}\right)\text{d} x,\quad \forall n\in\mathbb{Z}.

由上三式定义的三角级数称作 $f(x)$ 的 Fourier 级数 (Fourier series) 或 Fourier 展开式 (Fourier expansion), 记作

f(x)\sim\frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi nx}{\mathcal l}+b_n\sin\frac{2\pi nx}{\mathcal l}\right)

f(x)\sim\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal{l}}\right)

称 $a_n,b_n,c_n$ 为 $f(x)$ 的 Fourier 系数. 通常将 $c_n$ 记作 $\hat{f}(n)$ .

注

上述定义中采用 $\sim$ 的记号是因为目前我们并不知道 $f(x)$ 的 Fourier 级数是否收敛于 $f(x)$ .

定义

设 $f$ 是定义在 $(0,\mathcal l)$ 上的函数, 如果以 $2\mathcal l$ 为周期的函数 $g$ 满足

g(x) = \begin{cases} f(x),\quad x\in(0,\mathcal l) \\ f(-x),\quad x\in (-\mathcal l,0). \end{cases}

则称 $g$ 为 $f$ 的偶性延拓, 此时 $g$ 是 $(-\mathcal l,\mathcal l)\backslash\{0\}$ 上的偶函数.

如果以 $2\mathcal l$ 为周期的函数 $h$ 满足

h(x) = \begin{cases} f(x),\quad x\in(0,\mathcal l) \\ -f(-x),\quad x\in (-\mathcal l,0). \end{cases}

则称 $h$ 为 $f$ 的奇性延拓，此时 $h$ 是 $(-\mathcal l,\mathcal l)\backslash\{0\}$ 上的奇函数.

为了方便, 我们将 $f$ 作偶性延拓/奇性延拓得到的函数仍记作 $f$ .

定义

如果对 $f$ 做偶性延拓, 那么它的 Fourier 级数中只含有余弦项, 称为 $f(x)$ 的余弦级数, 记作

f(x)\sim \frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l},

其中

a_n=\frac 1 {\mathcal l}\int_{-\mathcal l}^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x=\frac 2 {\mathcal l}\int_0^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x.

如果对 $f$ 做奇性延拓, 那么它的 Fourier 级数中只含有正弦项, 称为 $f(x)$ 的正弦级数, 记作

f(x)\sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l},

其中

b_n=\frac 1 {\mathcal l}\int_{-\mathcal l}^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x=\frac 2 {\mathcal l}\int_0^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x.

局部化原理 #

引理黎曼-勒贝格引理

设 $f\in\mathscr R[a,b]$ (这里 $a$ 可以是 $-\infty$ ， $b$ 可以是 $+\infty$ ), 那么

\lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_a^b f(x)e(\lambda x)\text{d} x=0.

特别地, $\lim\limits_{|n|\to\infty}\hat f(n)=0$ .

注

由黎曼–勒贝格引理以及

\cos\theta = \frac{e^{\mathrm{i}\theta}+e^{-\mathrm{i}\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{\mathrm{i}\theta}-e^{-\mathrm{i}\theta}}{2\mathrm{i}}.

我们可以推出

\begin{aligned} \lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_a^b f(x)\cos\lambda x\text{d} x=0,\\[10pt] \lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_a^b f(x)\sin\lambda x\text{d} x=0. \end{aligned}

进而可以得到

\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0.

下面研究 $f(x)\in\mathscr R[0,1]$ 的 Fourier 级数的收敛性问题. 而对于周期是一般的正实数的情形, 可以通过伸缩变换或者类似的讨论研究.

此时 Fourier 级数为

f(x)\sim\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\hat f(n)e(nx),

其中

\hat f (n)=\int_0^1 f(t)e(-nt)\text{d} t.

用

S_N(x)=\sum\limits_{n=-N}^N \hat f(n)e(nx)

表示该 Fourier 级数的部分和，将 Fourier 系数的表达式代入可得

\begin{aligned} S_N(x)&=\sum\limits_{n=-N}^N e(nx)\int_0^1 f(t)e(-nt)\text{d} t\\[6pt] &=\int_0^1 f(t)\sum\limits_{n=-N}^N e(n(x-t))\text{d} t\\[6pt] &=\int_0^1 f(t)D_N(x-t)\text{d} t. \end{aligned}

定义狄利克雷核

上式中 $D_N(y):=\sum\limits_{n=-N}^Ne(ny)$ 称为狄利克雷核 (Dirichlet kernel).

首先, $D_N(y)$ 是以 $1$ 为周期的偶函数.

$y=0$ 时, 有 $D_N(0)=2N+1$ .

$y\in(0,1)$ 时, 有

\begin{aligned} D_N(y) &= \dfrac{e(-Ny)(e((2N+1)y)-1)}{e(y)-1}=\dfrac{e\left(\dfrac{2N+1}{2}y\right)-e\left(-\dfrac{2N+1}{2}y\right)}{e\left(\dfrac{y}2\right)-e\left(-\dfrac y 2\right)} \\[10pt] &=\dfrac{\sin((2N+1)\pi y)}{\sin(\pi y)}. \end{aligned}

那么在上述部分和表达式中作变量替换 $t\mapsto x-t$ 可得

S_N(x)=\int_{x-1}^x f(x-t)D_N(t)\text{d} t.

又被积函数的周期是 $1$ . 所以

S_N(x) = \int_0^{\frac 1 2}(f(x+t)+f(x-t))D_N(t)\text{d} t.

此外, $D_N(t)$ 是偶函数.

\int_0^{\frac 1 2}D_N(t)\text{d} t=\frac 1 2\int_{-\frac 1 2}^{\frac 1 2}D_N(t)\text{d} t=\frac 1 2\sum\limits_{n=-N}^N\int_{-\frac 1 2}^{\frac 1 2}e(nt)\text{d} t=\frac 1 2.

上述求和考虑交换积分求和号后用等比数列求和公式.

定理黎曼局部化原理

假设 $f$ 是以 $1$ 为周期的函数并且 $f\in\mathscr R[0,1]$ , 那么对给定的 $x$ , $f$ 的 Fourier 级数在点 $x$ 处收敛于 $s$ 当且仅当存在 $\delta>0$ 使得

\lim\limits_{N\to\infty}\int_0^{\delta}(f(x+t)+f(x-t)-2s)\frac{\sin((2N+1)\pi t)}{t}\text{d} t=0.

定理迪尼判别法

设 $f$ 是以 $1$ 为周期的函数并且 $f\in\mathscr R[0,1]$ , 如果对给定的 $x$ 及 $s$ , 存在 $\delta\in(0,1)$ 使得 $\dfrac{f(x+t)+f(x-t)-2s}{t}$ 是关于变量 $t$ 的属于 $\mathscr{R}[0,\delta]$ 的函数 (单独定义该函数在 $0$ 处的值), 那么 $f$ 的 Fourier 级数在 $x$ 处收敛于 $s$ .

定义

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ (事实上, 只要求去心邻域内) 内有定义, 若存在常数 $L>0$ 及 $\alpha>0$ 使得对任意的 $x\in(x_0-\delta,x_0)$ 有

|f(x)-f(x_0-0)|\leqslant L|x-x_0|^\alpha,

且对任意的 $x\in(x_0,x_0+\delta)$ 有

|f(x)-f(x_0+0)|\leqslant L|x-x_0|^\alpha.

则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近满足** $\alpha$ 阶利普希茨条件**

注

上述定理中 $f(x_0-0)$ 和 $f(x_0+0)$ 分别表示 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左/右极限.

注

一般而言, 我们不会去研究 $\alpha>1$ 时的情况, 因为当 $\alpha>1$ 时, 考虑

\left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|\leqslant L|x-x_0|^{\alpha-1},

当 $x\to x_0$ 时, 右侧为 $0$ 即 $f'(x_0)=0$ 。由于 $x_0$ 任意， $f$ 是常值函数。

推论

设 $f$ 以 $1$ 为周期且 $f\in\mathscr R[0,1],\alpha\in(0,1]$ . 如果 $f$ 在 $x$ 的附近满足 $\alpha$ 阶利普希茨条件, 那么 $f$ 的 Fourier 级数在 $x$ 处收敛于 $\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ . 特别地, 若 $x$ 是 $f$ 的连续点, 则 $f$ 的 Fourier 级数在 $x$ 处收敛于 $f(x)$ .

证明

考虑证明 $s=\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ 满足迪尼判别法的条件。

定义

设 $f$ 是定义在 $[a,b]$ 上的一个函数, 若存在 $[a,b]$ 的一个分划

a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,

使得在每个子区间 $[x_{j-1},x_j]$ 上定义的函数

g_j(x)=\begin{cases} f(x_{j-1}+0), &x=x_{j-1},\\ f(x),&x\in(x_{j-1},x_j) \\ f(x_j-0), & x=x_j \end{cases}

均在 $[x_{j-1},x_j]$ 上可微, 则称 $f$ 是 $[a,b]$ 上的分段可微函数.

推论

设 $f$ 是以 $1$ 为周期且在 $[0,1]$ 上分段可微的函数, 则 $f$ 的 Fourier 级数在每个点 $x$ 处均收敛于 $\dfrac{f(x+0)+f(x-0)} 2$ . 特别地, 若 $f$ 满足以上条件且 $x$ 是 $f$ 的连续点, 则 $f$ 的 Fourier 级数在 $x$ 处收敛于 $f(x)$ .

例

\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos 2\pi n x}{n^2}=\pi^2\left(x^2-x+\frac 1 6\right).

当 $x=0$ 则有

\zeta(2)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}=\frac {\pi^2} 6.

\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n} n=\frac{\pi-1}2.

费耶尔定理 #

定义

设 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 是一个级数, 用 $S_n$ 表示其部分和, 即 $S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k$ . 再记

\sigma_n=\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}n,

并称之为 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 的第 $n$ 个切萨罗和. 如果 $\{\sigma_n\}$ 收敛, 则称 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 是切萨罗可和的, 此时称 $\{\sigma_n\}$ 的极限为 $\sum\limits_{n=1}^\infty u_n$ 的切萨罗和.

定理费耶尔

设 $f$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的以 $1$ 为周期的函数且 $f$ 在 $[0,1]$ 上黎曼可积, 又设 $f$ 至多有第一类间断点, 则 $f$ 的 Fourier 级数是切萨罗可和的, 且在 $x$ 处的切萨罗和为

\frac{f(x+0)+f(x-0)}2.

特别地, 若 $x$ 是连续点, 则 $x$ 处的切萨罗和为 $f(x)$ .

注

教材页码：P234

定理三角多项式一致逼近

设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数且 $f(0)=f(1)$ , 则对任意的 $\varepsilon>0$ , 存在三角多项式 $P(x)=\sum\limits_{n=-N}^N c_ne(nx)$ 使得

\max\limits_{x\in[0,1]}|f(x)-P(x)|<\varepsilon

命题 Fourier 级数的唯一性

设 $f,g$ 均是以 $1$ 为周期的连续函数, 如果对任意的 $n$ 有 $\hat f(n)=\hat g(n)$ , 那么 $f=g$ .

均值定理 #

定义

设 $f$ 是以 $1$ 为周期的实值函数, 并且 $f$ 在 $[0,1]$ 上可积或者 $f$ 在 $[0,1]$ 上有有限多个奇点但反常积分 $\int_0^1 f(x)^2\text{d} x$ 收敛, 我们把满足上述条件的 $f$ 所成的集合记作 $\mathscr{R}^2[0,1]$ . 值得一提的, $\mathscr{R}^2[0,1]\subseteq\mathscr{R}[0,1]$ .

定理 Fourier 部分和的最佳平方逼近

设 $f\in\mathscr{R}^2[0,1]$ 。

(1) 对任意的正整数 $N$ 及复数 $\alpha_n\ (-N\leqslant n\leqslant N)$ 有

\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N \alpha_n e(nx)\right|^2\text{d} x\geqslant\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N\hat f(n)e(nx)\right|^2\text{d} x.

(2) 我们有

\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N\hat f(n)e(nx)\right|^2\text{d} x=\int_0^1 f(x)^2\text{d} x-\sum\limits_{n=-N}^N|\hat f(n)|^2

注

注意辨别上述过程中每一项是实数还是复数，上式中 $|x|$ 均表示复数的模长。

并利用 $\int_0^1 f(x)e(nx)\text{d} x=\overline{\int_0^1 f(x)e(-nx)\text{d} x}=\overline{\hat f(n)}$ 。

$2\Re \alpha_n\overline{\hat f(n)}=\overline{\alpha_n}\hat f(n)+\alpha_n\overline{\hat f(n)}$ ，即两倍实部等于自身与其共轭之和。

定理贝塞尔 (Bessel) 不等式

设 $f\in\mathscr{R}^2[0,1]$ ，则对任意的非负整数 $N$ 有

\sum\limits_{n=-N}^N|\hat f(n)|^2\leqslant\int_0^1 f(x)^2\text{d} x.

定理 Fourier 级数在积分均值意义下的收敛性

设 $f\in\mathscr{R}^2[0,1]$ ，则有

\lim\limits_{N\to\infty}\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N \hat f(n)e(nx)\right|^2\text{d} x = 0.

定理帕塞瓦尔 (Parseval) 恒等式

设 $f\in\mathscr{R}^2[0,1]$ ，则

\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}|\hat f(n)|^2=\int_0^1f(x)^2\text{d} x.

如果用 $a_n,b_n$ 表示也即

\int_0^1 f(x)^2\text{d} x=\frac{a_0^2} 4+\frac 1 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).

例

利用前述例子及上述定理可得

\int_{-\frac 12}^{\frac 12} x^4\text{d} x=\frac 1 {144}+\frac 1 2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{\pi^4n^4},

整理可得

\zeta(4)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1 {n^4}=\frac{\pi^4}{90}.

注

类似的, 设 $k\in\mathbb{Z}_{\geqslant1}$ . 通过考察以 $1$ 为周期的函数

f(x)=x^k,\quad\forall x\in[-\frac{1}{2},\frac 1 2)

可以归纳的证明

\zeta(2k)=\frac{(-1)^{k+1}B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}

其中 $B_n$ 是伯努利数.

定理广义帕塞瓦尔恒等式

设 $f,g$ 均是以 $1$ 为周期的函数, 且 $f,g\in\mathscr{R}^2[0,1]$ , 则

\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\hat f(n)\overline{\hat g(n)}=\int_0^1 f(x)g(x)\text{d} x.

Fourier 级数定义 #

局部化原理 #

费耶尔定理 #

均值定理 #

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