非线性微分方程组

自治微分方程与非自治微分方程、动力系统 #

高阶方程的一阶系统化 #

对于能写成正规形式的 $n$ 阶非线性微分方程

y^{(n)}=G(t,y,y',y'',\ldots,y^{(n-1)}),

令 $x_1=y,x_2=y',\ldots,x_n=y^{(n-1)}$ ，便得到一个由 $n$ 个一阶方程组成的系统：

\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}=x_{i+1}, & i=1,\ldots,n-1,\\[6pt] \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}=G(t,x_1,x_2,\ldots,x_n). \end{cases}

这里的 $n$ 是系统的维数；各分量的最高导数均为一阶。当 $n=1$ 时，系统只有最后一个方程。

一阶系统与初值 #

更一般的一阶非线性微分方程组写为

\begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t}=f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\\[10pt] \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}=f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n),\\[10pt] \vdots\\[4pt] \dfrac{\mathrm{d}x_n}{\mathrm{d}t}=f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n). \end{cases}

用向量记号可简写为

\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}(t,\mathbf{x}),

其中

\mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}, \qquad \mathbf{F}(t,\mathbf{x})= \begin{bmatrix} f_1(t,x_1,\ldots,x_n)\\ f_2(t,x_1,\ldots,x_n)\\ \vdots\\ f_n(t,x_1,\ldots,x_n) \end{bmatrix}.

指定初值

\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0=(x_{01},x_{02},\ldots,x_{0n})^{\mathsf T},

就得到一个初值问题。

局部存在唯一性 #

局部存在唯一性

设 $\mathbf{F}$ 在包含 $(t_0,\mathbf{x}_0)$ 的开时空区域内连续，并且关于状态变量满足局部 Lipschitz 条件：在每一点附近，可以选取统一的常数 $L$ ，使同一时刻的状态满足

\|\mathbf{F}(t,\mathbf{x})-\mathbf{F}(t,\mathbf{y})\| \le L\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|.

则上述初值问题在 $t_0$ 附近的某个时间区间内存在唯一解。这里保证的是局部解，不能据此断言解对所有时间都存在。

向量场与相空间 #

向量场与积分曲线

一阶系统在时空定义域中确定扩展向量场 $(1,\mathbf{F}(t,\mathbf{x}))$ ，其中第一分量表示时间以单位速率增长。解对应的曲线

t\longmapsto \bigl(t,\mathbf{x}(t;t_0,\mathbf{x}_0)\bigr)

称为该扩展向量场的积分曲线。在局部存在唯一性的条件下，每个时空点都通过唯一的局部积分曲线；这一结论不等于非自治系统的相空间投影不会相交。

相空间与轨线

只考虑状态变量 $x_1,\ldots,x_n$ 所构成的空间 $\mathbb{R}^n$ （或其中的状态定义域），称为系统的相空间。积分曲线在相空间中的投影称为轨线。

自治与非自治系统 #

自治与非自治系统

右端函数显含时间 $t$ 的系统称为非自治微分方程组；右端不显含 $t$ ，即

\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{F}(\mathbf{x}),

则称为自治微分方程组。

平衡点与周期解 #

平衡点

系统的常值解 $\mathbf{x}(t)\equiv\mathbf{x}^*$ 称为平衡点，也称奇点或驻点。对于自治系统，这等价于 $\mathbf{F}(\mathbf{x}^*)=\mathbf{0}$ ；对于非自治系统，需要在考虑的全部时刻满足 $\mathbf{F}(t,\mathbf{x}^*)=\mathbf{0}$ 。

周期解

设解 $\mathbf{x}(t)$ 对所有 $t\in\mathbb{R}$ 有定义。如果存在 $T>0$ ，使

\mathbf{x}(t+T)=\mathbf{x}(t),\qquad \forall t\in\mathbb{R},

则称它为周期解。常值解也满足这个等式；下文所说的闭合周期轨线专指非恒定的周期运动。

Lyapunov 稳定性 #

设一阶系统满足上述连续性和局部 Lipschitz 条件， $\mathbf{x}=\boldsymbol{\Phi}(t)$ 是向前存在的参考解。以下稳定性条件包含所讨论的邻近解在全部 $t\ge t_0$ 上存在的要求，范数取欧氏范数。

稳定与一致稳定 #

Lyapunov 稳定

对每个允许的初始时刻 $t_0$ 和每个 $\varepsilon>0$ ，若存在 $\delta=\delta(\varepsilon,t_0)>0$ ，使满足

\|\mathbf{x}_0-\boldsymbol{\Phi}(t_0)\|<\delta

的解都有

\|\mathbf{x}(t;t_0,\mathbf{x}_0)-\boldsymbol{\Phi}(t)\|<\varepsilon, \qquad \forall t\ge t_0,

则称参考解是 Lyapunov 稳定的，否则称为不稳定。

如果 $\delta$ 可以选得与 $t_0$ 无关，则称该解一致稳定。

渐近稳定与吸引域 #

渐近稳定

参考解稳定，并且对每个 $t_0$ 存在 $\delta_0(t_0)>0$ ，使一切满足

\|\mathbf{x}_0-\boldsymbol{\Phi}(t_0)\|<\delta_0(t_0)

的解都有

\lim_{t\to+\infty} \|\mathbf{x}(t;t_0,\mathbf{x}_0)-\boldsymbol{\Phi}(t)\|=0,

则称参考解是渐近稳定的。

吸引域

固定 $t_0$ 后，使解向前存在且趋近参考解的全部初值构成该解在时刻 $t_0$ 的吸引域 $D_0(t_0)$ 。若只找到其中一个区域，只能称它为吸引域的内估计。

对于自治系统的平衡点，吸引域不依赖初始时刻。若平衡点稳定，且吸引域是整个状态空间，则称它全局渐近稳定。对于一般参考解，也要在每个允许的初始时刻检查全空间内的吸引性。

化为零解的稳定性 #

平移参考解

令

\mathbf{y}(t)=\mathbf{x}(t)-\boldsymbol{\Phi}(t),

则原系统化为

\frac{\mathrm{d}\mathbf{y}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{G}(t,\mathbf{y}),

其中

\mathbf{G}(t,\mathbf{y})= \mathbf{F}\bigl(t,\mathbf{y}+\boldsymbol{\Phi}(t)\bigr) -\mathbf{F}\bigl(t,\boldsymbol{\Phi}(t)\bigr).

由于 $\mathbf{G}(t,\mathbf{0})=\mathbf{0}$ ，参考解对应新系统的零解，且两种表述中的偏差范数相同。因此可以转而研究零解的稳定性。

练习 #

一阶线性方程的零解 #

题目

设 $a\in C([0,+\infty),\mathbb{R})$ 。固定初始时刻 $t_0\ge0$ ，给出一阶微分方程

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a(t)x

的零解稳定、渐近稳定的充要条件。

解答

令 $A(t;t_0)=\int_{t_0}^t a(s)\,\mathrm{d}s$ 。初值为 $x(t_0)=x_0$ 的解为

x(t)=x_0e^{A(t;t_0)}.

固定 $t_0$ 时，零解稳定的充要条件是

\sup_{t\ge t_0} A(t;t_0)<+\infty.

事实上，若 $M=\sup_{t\ge t_0}e^{A(t;t_0)}<\infty$ ，取 $\delta=\varepsilon/M$ 即可。反之，稳定性对 $\varepsilon=1$ 给出某个 $\delta>0$ ，取 $x_0=\delta/2$ ，便有 $e^{A(t;t_0)}<2/\delta$ 。

零解渐近稳定的充要条件是

\lim_{t\to+\infty}A(t;t_0)=-\infty,

等价地， $e^{A(t;t_0)}\to0$ 。因为 $A$ 连续，这个极限条件同时保证其在 $[t_0,+\infty)$ 上有上界。

取 $t_0=0$ 就得到 $x(t)=x(0)e^{\int_0^t a(s)\,\mathrm{d}s}$ 。对非自治方程，一致稳定还要求

\sup_{t\ge s\ge0}\int_s^t a(\tau)\,\mathrm{d}\tau<+\infty,

不能只用某一个初始时刻的界代替这个统一条件。

极坐标系统：稳定但不渐近稳定 #

题目

考虑极坐标方程

\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1,\qquad \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=f(r)= \begin{cases} r^2\sin\dfrac{1}{r}, & r>0,\\[6pt] 0, & r=0. \end{cases}

角坐标只在 $r>0$ 时使用， $r=0$ 对应平面原点。

证明平面原点稳定，但不渐近稳定。
试作出原点邻域的相图。

证明与相图

局部唯一性与屏障圆。 对于 $r>0$ ，

f'(r)=2r\sin(1/r)-\cos(1/r),

它在每个有界半径区间内有界，并且 $f$ 在 $0$ 处的右导数为 $0$ 。因此径向方程在 $[0,R]$ 上满足 Lipschitz 条件，解局部唯一。对任意正整数 $N$ ，令

R_N=\frac{1}{N\pi}.

由于 $f(R_N)=0$ ， $r(t)\equiv R_N$ 是径向方程的常值解；由唯一性，从圆内出发的解不能穿过这一屏障圆。

稳定性。 任给 $\varepsilon>0$ ，选足够大的 $N$ ，使 $R_N<\varepsilon$ ，并取 $\delta=R_N$ 。若 $0\le r(t_0)<\delta$ ，则由 $r=0$ 和 $r=R_N$ 两个屏障解可知

0\le r(t)<R_N<\varepsilon,\qquad t\ge t_0.

径向解留在紧区间内，可以向前延拓到所有时间；角变量为 $\theta(t)=\theta_0+t-t_0$ 。又因 $\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}=r(t)$ ，这正是平面原点的 Lyapunov 稳定性。

不渐近稳定。 任意原点邻域内都有某条 $r=R_N>0$ 的周期轨线。其半径恒定，周期为 $2\pi$ ，永不趋近原点。因此不存在使所有邻近轨线都趋于原点的吸引邻域。

相图。 在环带 $R_{n+1}<r<R_n$ 中， $1/r\in(n\pi,(n+1)\pi)$ ，故径向速度的符号为 $(-1)^n$ ，其中 $n\ge1$ 。

环带	径向速度	随时间增大的运动
$R_{n+1}<r<R_n$ ， $n$ 为偶数	$f(r)>0$	逆时针向外旋转，趋向外侧的 $r=R_n$
$R_{n+1}<r<R_n$ ， $n$ 为奇数	$f(r)<0$	逆时针向内旋转，趋向内侧的 $r=R_{n+1}$

画图时，从外向内画出半径 $R_1,R_2,R_3,\ldots$ 的同心周期圆，并在每个环带中按上表添加逆时针螺旋方向。偶数编号的圆从两侧吸引，奇数编号的圆从两侧排斥；这些圆不断向原点积聚。这里的圆是周期轨线，不能把整条圆称为平衡点。

自治微分方程组解的性质 #

圆周轨线：参数曲线记录 #

这里保留一组可直接核验的参数曲线：

x(t)=x_0\cos t,\qquad y(t)=x_0\sin t,\qquad x_0\in\mathbb{R}.

消去 $t$ 可得

x^2+y^2=x_0^2.

当 $x_0\ne0$ 时，轨线是半径 $|x_0|$ 的圆，参数曲线的周期为 $2\pi$ ；当 $x_0=0$ 时，曲线退化为原点。

这里只讨论这组参数曲线的几何性质。对应的方程与完整题设尚未给出，不能据此确定原题，也不能把这组表达式称为某个未指定系统的完整解空间。另一道练习的题干和解答均未齐备，暂不列为可作答题目。

参考 #

Daniel Liberzon：微分方程的局部存在唯一性与稳定性，第 2.1、3.1 节。
MIT ES.1803：方向场、解的唯一性与自治方程相线，第 10、12 节。