非线性微分方程组

微分方程组 \eqref{一阶微分方程组} 在 $n+1$ 维空间 $\mathbb{R}^{n+1}=\{t,x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ 中确定了一个向量场, 而初始值问题 \eqref{一阶微分方程组向量},\eqref{微分方程组初始值问题} 的解 $\bm x(t,t_0,\bm x_0)$ 就是向量场中的一条积分曲线. 当 \eqref{一阶微分方程组向量} 中函数 $\bm F$ 满足解的唯一存在性条件时, 向量场中任一点有且仅有一条积分曲线经过.

如果把 $t$ 理解为时间参数, 只考虑 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 构成的空间 $\mathbb{R}^n$, 我们将这个空间称为方程组 \eqref{一阶微分方程组向量} 的相空间, 积分曲线在相空间的投影曲线称为方程组的轨线.

当方程组 \eqref{一阶微分方程组向量} 中的函数 $\bm F$ 显含 $t$ 时, 称该方程组为非自治微分方程组.

如果函数 $\bm F$ 中不显含 $t$, 即 \begin{equation} \wfen{\bm x} t=\bm F(\bm x), \end{equation} 则称为自治微分方程组.

系统 \eqref{一阶微分方程组向量} 的常数解 $\bm x=\bm x^*$ 称为系统的平衡点(\mydef[微分方程奇点]{奇点}或\mydef[微分方程驻点]{驻点})

系统 \eqref{一阶微分方程组向量} 的解 $\bm x=\bm x(t)$, 若存在常数 $T>0$ 满足 $\forall t\in\mathbb{R},s.t.\ \bm x(t+T)=\bm x(t)$. 则称 $\bm x(t)$ 是一个\mydef[微分方程周期解]{周期解}.

设 \eqref{一阶微分方程组向量} 的右端函数 $\bm F(t,\bm x)$ 对于 $x\in G\subset\mathbb{R}^n,t\in \mathbb{R}$ 连续, 关于 $\bm x$ 满足 \hyperref[lpxc条件]{\lpxc}且有一个解 $\bm x=\bm\Phi(t)$.

现给定 $t_0\in\mathbb{R}$ 并设 $\bm\Phi_0=\bm\Phi(t_0)$. 如果对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在至多依赖 $\varepsilon,t_0$ 的 $\delta>0$, 使得对于 \eqref{一阶微分方程组向量} 的任意满足 $x(t_0)=x_0$ 的解 $x(t,t_0,\bm x_0)$, 只要 \begin{equation} \Vert \bm x_0-\bm \Phi_0\Vert<\delta \end{equation} 就有\begin{equation} \Vert \bm x(t,t_0,\bm x_0)-\bm\Phi(t)\Vert<\varepsilon,\quad \forall t\geqslant t_0 \end{equation} 就称解 $x=\bm\Phi(t)$ 是 Lyapunov 意义下稳定的, 简称稳定的, 否则称不稳定的.

特别的, 如果 $\delta$ 至多依赖 $\varepsilon$ 而与 $t_0$ 的取值无关, 那么称该解是 Lyapunov 一致稳定的.

如果 \eqref{一阶微分方程组向量} 的解 $\bm x=\bm\Phi(t)$ 是稳定的, 且存在一个常数 $\delta_0>0$, 使得对一切满足 \begin{equation} \Vert \bm x_0 -\bm\Phi_0\Vert<\delta_0 \end{equation} 的解 $\bm x(t,t_0,\bm x_0)$ 都有 \begin{equation} \lim\limits_{t\to+\infty}\Vert \bm x(t,t_0,\bm x_0)-\bm\Phi(t)\Vert=0. \end{equation} 则称该解是渐进稳定的.

如果 \eqref{一阶微分方程组向量} 的解 $\bm x=\bm\Phi(t)$ 是渐进稳定的且存在区域 $D_0$, 只要 $\bm x_0\in D_0$ 就有

则称 $D_0$ 为该解的吸引域.

特别的, 如果某个解的吸引域是全空间, 则称此解是全局渐进稳定的.