数学 / 泛函分析 赋范空间 最佳逼近元 整理严格凸空间中的最佳逼近元及其存在唯一性，并讨论有限维子空间上的逼近问题。 约 1 分钟阅读 泛函分析赋范空间 本页目录 1 节最佳逼近元 最佳逼近元 # 定义 严格凸 设 X\mathscr XX 是 B∗B^*B∗, 如果 ∀x,y∈X,x≠y\forall x,y\in\mathscr X, x\neq y∀x,y∈X,x=y 只要 ∥x∥=∥y∥=1\Vert x \Vert=\Vert y \Vert=1∥x∥=∥y∥=1 则必有 ∥αx+βy∥<1(∀α,β>0,α+β=1)\Vert \alpha x+\beta y \Vert<1(\forall \alpha,\beta>0, \alpha+\beta=1)∥αx+βy∥<1(∀α,β>0,α+β=1), 那么就称 X\mathscr XX 是严格凸的, 称 αx+βy\alpha x+\beta yαx+βy 为 xxx 和 yyy 的凸组合. 定理 最佳逼近元 设 X\mathscr{X}X 是严格凸的 B∗B^*B∗ 空间, X0\mathscr X_0X0 是 X\mathscr XX 的有穷维子空间, 则对任意的 x∈Xx\in \mathscr Xx∈X, 存在唯一的 x0∈X0x_0\in\mathscr X_0x0∈X0 使得 ∥x−x0∥=ρ(x,X0)\Vert x-x_0 \Vert=\rho(x,\mathscr X_0)∥x−x0∥=ρ(x,X0). 称 x0x_0x0 为 xxx 在 X0\mathscr X_0X0 中的最佳逼近元. 注 最佳逼近元的存在性不需要严格凸性, 唯一性需要严格凸性. 上一节 · 泛函分析商空间下一节 · 泛函分析有限维线性赋范空间 讨论 评论 正在加载评论… 邮箱 获取验证码 验证码 验证 评论 提交评论 退出登录
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