共轭空间与共轭算子

定理到第二共轭空间的自然嵌入

定义: $J:\mathscr X\to\mathscr X^{**}$ 为

Jx=J_x,\quad x\in\mathscr X,

其中 $J_x(f)=f(x)\quad (\forall f\in\mathscr X^{*})$ .

$J$ 是线性的且 $\Vert J_x \Vert=\Vert x \Vert$ , 即 $J$ 是等距 (保范) 映射.

称 $J$ 为到第二共轭空间的自然嵌入.

证明

线性性: $\forall x,y\in\mathscr X$ .

$\forall f\in\mathscr X^*$ , $J(\alpha x+\beta y)(f)=f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)=\alpha J(x)(f)+\beta J(y)(f)$ .

即 $J(\alpha x+\beta y)=\alpha Jx+\beta Jy$ .

保范性: 根据 Hahn-Banach 定理

\Vert x \Vert=\sup\limits_{\Vert f \Vert=1}|f(x)|=\sup\limits_{\Vert f \Vert=1}|J_x(f)|=\Vert J_x \Vert

定义自反空间

若自然嵌入映射 $J(\mathscr X)=\mathscr X^{**}$ 即 $J$ 是满射, 则称 $\mathscr X$ 是自反的.

注

若 $\mathscr X$ 是自反空间, 则 $\mathscr{X}$ 是 $B$ 空间.

证明

因为 $\mathscr X^{**}$ 是 $B$ 空间.

例

有限维 $B^*$ 空间是自反空间.

例

Hilbert 空间是自反空间.

定理 Banach

设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间, 若 $\mathscr X^*$ 是可分的, 则 $\mathscr X$ 也是可分的.

证明

$X^*$ 可分, 则存在泛函列 $\lbrace f_n\rbrace \subset X^*$ 使得 $\lbrace f_n\rbrace$ 在 $X^*$ 中稠密. 从而 $\lbrace g_n := f_n / \|f_n\|\rbrace$ 在 $X^*$ 的单位球面上稠密.

由算子范数的定义, $\exists x_n \in X$ 满足 $\|x_n\| = 1$ 使得 $g_n(x_n) > 1/2$ .

令 $X_0 = \overline{\mathrm{span}}\lbrace x_n\rbrace$ . 欲证 $X$ 可分, 只需证明 $X_0 = X$ .

(反证法) 假设 $\exists z \notin X_0$ .

由 Hahn-Banach 定理知 $\exists f \in X^*$ 使得 $\|f\| = 1$ 且 $f(x) = 0\ (\forall x \in X_0)$ .

利用 $\lbrace g_n\rbrace$ 在 $X^*$ 中的单位球面上的稠密性知存在子列 $g_{n_k} \to f$ .

但是 $|g_{n_k}(x_{n_k}) - f(x_{n_k})| = |g_{n_k}(x_{n_k})| > 1/2$ . 矛盾!

注

若 $\mathscr X$ 是自反的, 则上述定理的逆也成立.

定义共轭算子

设 $T\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)$ . 定义 $T^*:\mathscr Y^*\to\mathscr X^*$ 为 $T^*f=f\circ T$ .

称 $T^*$ 为 $T$ 的共轭算子或伴随算子.

性质

$T^*\in\mathscr L(\mathscr Y^*,\mathscr X^*)$ 且 $\Vert T^* \Vert=\Vert T \Vert$ .

证明

线性性: $\forall f,g\in\mathscr Y^*$ , $T^*(\alpha f+\beta g)=(\alpha f+\beta g)T=\alpha f\circ T+\beta g\circ T=\alpha T^*(f)+\beta T^*(g)$ .

有界性: 只需要说明 $\Vert T^* \Vert=\Vert T \Vert$ .

\begin{aligned} \Vert T^* \Vert&=\sup\limits_{\Vert f \Vert=1}\Vert T^*f \Vert=\sup\limits_{\Vert f \Vert=1}\sup\limits_{\Vert x \Vert=1}|T^*f(x)|\\ &=\sup\limits_{\Vert f \Vert=1}\sup\limits_{\Vert x \Vert=1}|f(Tx)|=\sup\limits_{\Vert x \Vert=1}\sup\limits_{\Vert f \Vert=1}|f(Tx)|\\ &=\sup\limits_{\Vert x \Vert=1}\Vert Tx \Vert=\Vert T \Vert \end{aligned}

其中第五个等号使用了 Hahn-Banach 定理.

性质

$(\alpha T)^*=\alpha T^*$ .

性质

$(T_1+T_2)^*=T_1^*+T_2^*$ .

性质

$(T_2T_1)^*=T_1^*T_2^* (\forall T_1\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y),\forall T_2\in\mathscr L(\mathscr Y,\mathscr Z))$

性质

设 $I_X$ 为 $X$ 上的恒等算子, 则 $(I_X)^*=I_{X^*}$ .

性质

$T\in\mathscr L(\mathscr X,\mathscr Y)\Rightarrow T^*\in\mathscr L(\mathscr Y^*,\mathscr X^*)\Rightarrow T^{**}=(T^*)^*\in\mathscr L(\mathscr X^{**},\mathscr Y^{**})$ .

练习

题目 #

若 $Y$ 是自反的, 则 $*:T\to T^*$ 是 $\mathscr L(X,Y)$ 到 $\mathscr L(Y^*,X^*)$ 的等距同构.

题目 #

$X$ 是复 Hilbert 空间时, $T^*=T$ 等价于 $(Tx,x)\in\mathbb R (\forall x\in X)$ .

题目 #

设 $X$ 是 Hilbert 空间, $T\in\mathscr L(X)$ , 则 $\ker(T^*)=\text{Ran}(T)^\perp$ .

证明

$\forall y\in\text{Ker}(T^*)$ 即 $(Tx,y)=(x,T^*y)=(x,0)=0\forall x\in H$ . 所以 $(\operatorname{Ran}(T),y)=0$ 即 $y\in \text{Ran}(T)^\perp$ . 又核空间肯定是线性闭子空间, 从而 $\text{Ran}(T)^\perp=\text{Ker}(T^*)$ .

题目 #

设 $X:=\lbrace x:=\lbrace x_n\rbrace:\sum\limits_{n=1}^\infty|nx_n|^2<\infty\rbrace$ . 定义 $(x,y)_X:=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2x_n\overline{y_n}$ . 定义 $T:X\to l^2$ 为 $Tx=x$ . 证明: $\overline{R(T)}=l^2$ .

题目 #

设 $\mathbb R^3$ 中有界区域 $D$ 包含于封闭曲面 $\Gamma$ 所围有界区域内部. 定义

Tf:=\int_\Gamma \frac{1}{4\pi|x-y|}f(y)\text{d} s(y),\quad x\in D,f\in L^2(\Gamma).

设 $Y$ 为 $\lbrace u\in C^2(D):\Delta u=0\rbrace$ 在 $L^2(D)$ 范数意义下的完备化. 证明: $R(T)$ 在 $Y$ 中稠密.

共轭空间与共轭算子

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