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数学 实变函数 Lebesgue测度

可测集与测度

整理 Lebesgue 可测集的定义、可测集类性质及测度的连续性。

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实变函数Lebesgue测度
本页目录1 节

可测集与测度 #

定义

设 E⊂RnE\subset\mathbb{R}^n. 若对任意的点集 T⊂RnT\subset\mathbb{R}^n, 有

m∗(T)=m∗(T∩E)+m∗(T∩Ec),m^*(T)=m^*(T\cap E)+m^*(T\cap E^c),

则称 EE 为 Lebesgue 可测集, 简称为可测集, 其中 TT 称为试验集, 全体可测集称为可测集类, 简记为 M\mathscr{M}.

性质

[(i)]

  • ∅∈M\varnothing\in\mathcal{M}.
  • 若 E∈ME\in\mathcal M, 则 Ec∈ME^c\in\mathcal M.
  • 若 E1,E2∈ME_1,E_2\in\mathcal M, 则 E1∪E2,E1∩E2,E1∖E2∈ME_1\cup E_2,E_1\cap E_2,E_1\setminus E_2\in\mathcal{M}.
  • 若 Ei∈ME_i\in\mathcal M, 则其并集属于 M\mathcal M. 更进一步的如果 Ei∩Ej=∅(i≠j)E_i\cap E_j=\varnothing (i\neq j) 则有
m∗(⋃i=1∞Ei)=∑i=1∞m∗(Ei).m^*(\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i)=\sum\limits_{i=1}^\infty m^*(E_i).
  • 当两个集合由一个可测集分离开时, 其外侧度有可加性. 即若 E1∈S, E2∈Sc,S∈ME_1\in S,\ E_2\in S^c, S\in\mathcal{M}
定理

若有递增可测集列 E1⊂E2⊂⋯Ek⊂,E_1\subset E_2\subset \cdots E_k \subset, 则

m(lim⁡k→∞Ek)=lim⁡k→∞m(Ek).m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=\lim\limits_{k\to\infty} m(E_k).
证明

若存在 k0k_0, 使得 m(Ek0)=+∞m(E_{k_0})=+\infty, 则显然成立.

故假设 m(Ek)<+∞m(E_k)<+\infty. 由题设知 Ek∖Ek−1E_k\setminus E_{k-1} 是互不相交的可测集且有 m(Ek∖Ek−1)=m(Ek)−m(Ek−1)m(E_k\setminus E_{k-1})=m(E_k)-m(E_{k-1}).

令 E0=∅E_0=\varnothing, 则有

lim⁡k→∞Ek=⋃k=1∞Ek=⋃k=1∞(Ek∖Ek−1).\lim\limits_{k\to \infty}E_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty (E_k\setminus E_{k-1}).

再根据测度的可加性

m(lim⁡k→∞Ek)=∑k=1∞m(Ek∖Ek−1)=lim⁡k→∞∑i=1km(Ek)−m(Ek−1)=lim⁡k→∞m(Ek).m(\lim\limits_{k\to\infty}E_k)=\sum\limits_{k=1}^\infty m(E_k\setminus E_{k-1})=\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{i=1}^k m(E_k)-m(E_{k-1})=\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k).
推论

若有递减可测集列 E1⊃E2⊃⋯Ek⊃E_1\supset E_2\supset \cdots E_k \supset, 且\tr{存在 k0⩾1s.t.m(Ek0)<+∞k_0\geqslant 1\text{s.t.} m(E_{k_0})<+\infty} 则

m(lim⁡k→∞Ek)=lim⁡k→∞m(Ek).m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=\lim\limits_{k\to\infty} m(E_k).
证明

从 k0k_0 开始, Ek0∖EkE_{k_0}\setminus E_k 是递增列, 应用上面的定理可得

m(lim⁡k→∞Ek0∖Ek)=lim⁡k→∞m(Ek0∖Ek),m(\lim\limits_{k\to\infty} E_{k_0}\setminus E_{k})=\lim\limits_{k\to\infty}m(E_{k_0}\setminus E_{k}), m(Ek0)−m(lim⁡k→∞Ek)=m(Ek0)−lim⁡k→∞m(Ek),m(E_{k_0})-m(\lim\limits_{k\to\infty}E_k)=m(E_{k_0})-\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k), m(lim⁡k→∞Ek)=lim⁡k→∞m(Ek).m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=\lim\limits_{k\to\infty} m(E_k).
注

上述推论中红色条件必不可少, 否则有如下反例

Ek=[k,+∞), m(lim⁡k→∞Ek)=0, lim⁡k→∞m(Ek)=+∞.E_k=[k,+\infty),\ m\left(\lim\limits_{k\to\infty}E_k\right)=0,\ \lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=+\infty.
定理

若有可测集列 {Ek}\{E_k\}, 且有 ∑k=1∞m(Ek)<+∞\sum\limits_{k=1}^\infty m(E_k)<+\infty, 则

m(lim‾⁡k→∞Ek)=0.m\left(\varlimsup\limits_{k\to\infty} E_k\right)=0.
证明
m(lim‾⁡k→∞Ek)=m(lim⁡k→∞⋃j=k∞Ej)=lim⁡k→∞m(⋃j=k∞Ej)⩽lim⁡k→∞∑j=k∞m(Ei)=0.m\left(\varlimsup\limits_{k\to\infty} E_k\right)=m\left(\lim\limits_{k\to\infty}\bigcup\limits_{j=k}^\infty E_j\right)=\lim\limits_{k\to\infty}m\left(\bigcup\limits_{j=k}^\infty E_j\right)\leqslant\lim\limits_{k\to\infty}\sum\limits_{j=k}^\infty m(E_i)=0.
推论

设 {Ek}\{E_k\} 是可测集列, 则

m(lim‾⁡k→∞Ek)⩽lim‾⁡k→∞m(Ek).m\left(\varliminf\limits_{k\to\infty} E_k\right)\leqslant \varliminf\limits_{k\to \infty} m(E_k). m(lim‾⁡k→∞Ek)⩾lim‾⁡k→∞m(Ek).m\left(\varlimsup\limits_{k\to\infty} E_k\right)\geqslant \varlimsup\limits_{k\to \infty} m(E_k).

其中第二条要求 Ek<+∞E_k<+\infty.

证明

由

m(⋂j=k∞Ej)⩽m(Ek),m\left(\bigcap\limits_{j=k}^\infty E_j\right)\leqslant m(E_k), m(lim‾⁡k→∞Ek)=m(lim⁡k→∞⋂j=k∞Ej)=lim⁡k→∞m(⋂j=k∞Ej)⩽lim‾⁡k→∞m(Ek).m\left(\varliminf\limits_{k\to\infty} E_k\right)=m\left(\lim\limits_{k\to\infty}\bigcap\limits_{j=k}^\infty E_j\right)=\lim\limits_{k\to\infty}m\left(\bigcap\limits_{j=k}^\infty E_j\right)\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}m(E_k).

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