偏微分方程：位势方程 / 基本解

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基本解与 Green 函数 #

definition

如果 $U\in L_{loc}(\mathbb{R}^n)$ 在广义函数意义下满足

-\Delta U=\delta(x-\xi),\quad x,\xi\in\mathbb{R}^n

即对任意 $\varphi\in\mathscr D(\mathbb{R}^n)$ , 有

\int\cdots\int_{\mathbb{R}^n} U(-\Delta\varphi)\text{d} x=\varphi(\xi)

则称 $U$ 为 $n$ 维 Laplace 方程的一个基本解, 记为 $\Gamma(x;\xi)$ .

\Gamma(x;\xi)=\begin{cases} \frac{1}{2\pi}\ln\frac{1}{|x-\xi|}, & n=2\\ \frac{1}{(n-2)\omega_n}\cdot\frac{1}{|x-\xi|^{n-2}}, & \omega_n=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}, n\geqslant 3 \end{cases}

下面的讨论以 $n=2$ 为例.

tip

设 $\partial \Omega$ 分段光滑, $u,v\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ , 则有以下 Green 公式

\iint_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\text{d} x\text{d} y=\int_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial v}{\partial \vec n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right)\text{d} l

其中 $\frac{\partial u}{\partial \vec n}=\nabla u\cdot n$ .

tip

设 $\partial\Omega$ 分段光滑, $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$ , 则

u(\xi,\eta)=-\iint_\Omega \Gamma(x,y;\xi,\eta)\Delta u(x,y)\text{d} x\text{d} y+\int_{\partial\Omega}\left[\Gamma(x,y;\xi\eta)\frac{\partial u(x,y)}{\partial\vec n}-\frac{\partial\Gamma(x,y;\xi,\eta)}{\partial\vec n}u(x,y)\right]\text{d} l.