映射与基数

性质像集和原像集

对于 $f: X \to Y$ 以及 $A \subset X$ , 我们记

f(A) = \{y \in Y; x \in A, y = f(x)\},

并称 $f(A)$ 为集合 $A$ 在映射 $f$ 下的(映)像集 ( $f(\varnothing) = \varnothing$ ). 显然, 我们有下列简单事实:

(i) $f\left(\bigcup\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right) = \bigcup\limits_{\alpha \in I} f(A_{\alpha});$
(ii) $f\left(\bigcap\limits_{\alpha \in I} A_{\alpha}\right) \subset \bigcap\limits_{\alpha \in I} f(A_{\alpha}).$

对于 $f: X \to Y$ 以及 $B \subset Y$ , 我们记

f^{-1}(B) = \{x \in X; f(x) \in B\},

并称 $f^{-1}(B)$ 为 $B$ 关于 $f$ 的原像集. 显然, 我们有下列简单事实:

(i) 若 $B_1 \subset B_2$ , 则 $f^{-1}(B_1) \subset f^{-1}(B_2) \quad (A \subset Y);$
(ii) $f^{-1}\left(\bigcup\limits_{\alpha \in I} B_{\alpha}\right) = \bigcup\limits_{\alpha \in I} f^{-1}(B_{\alpha}) \quad (B_{\alpha} \subset Y, \alpha \in I);$
(iii) $f^{-1}\left(\bigcap\limits_{\alpha \in I} B_{\alpha}\right) = \bigcap\limits_{\alpha \in I} f^{-1}(B_{\alpha}) \quad (B_{\alpha} \subset Y, \alpha \in I);$
(iv) $f^{-1}(B^c) = (f^{-1}(B))^c \quad (B \subset Y).$

性质特征函数

$\Chi_{A\cap B}=\Chi_A\Chi_B$ .
$\Chi_{A\cup B}=\Chi_A+\Chi_B-\Chi_{A\cap B}$ .
$\Chi_{A\backslash B}=\Chi_A(1-\Chi_B)$ .
$\Chi_{A\Delta B} =\Chi_A+\Chi_B-2\Chi_A\Chi_B= \Chi_A^2+\Chi_B^2-2\Chi_A\Chi_B=(\Chi_A-\Chi_B)^2=|\Chi_A-\Chi_B|$ .

定理 Cantor-Bernstein 定理

若集合 $X$ 与 $Y$ 的某个真子集对等, $Y$ 与 $X$ 的某个真子集对等, 则 $X\sim Y$ .

证明

设 $f:A\rightarrow B_0\subsetneq B,\quad g:B\rightarrow A_0\subsetneq A$ 是两个双射.

令 $A_1=A\backslash A_0,\ B_1=f(A_1),\ A_2=g(B_1)\subseteq A_0,\ B_2=f(A_2)\subseteq B_0\backslash B_1\cdots$ . 从而有

\forall k\geqslant 1,\begin{cases} B_k=f(A_k) \\ A_{k+1}=g(B_k) \end{cases} \Rightarrow \bigcup\limits_{k\geqslant1}B_k=f\left(\bigcup\limits_{k\geqslant1}A_k\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{k\geqslant1}B_k\sim\bigcup\limits_{k\geqslant1}A_k

又有 $A\backslash\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)=A_0\backslash\bigcup\limits_{k=2}^\infty A_k$ , 可得

\begin{aligned} g^{-1}\left(A\backslash\bigcup\limits_{k=1}^\infty\right)&=\\ \end{aligned}

定义基数

如果对集合 $A,B$ 有 $A\sim B$ , 则称 $A,B$ 的基数相等, 记作 $\overline{\overline{A}}=\overline{\overline{B}}$ .

定义有限集

对于集合 $A$ , $\exists\ n\geqslant 1,\ s.t.\ A\sim\{1,2,3,\cdots,n-1,n\}$ . 则称之为有限集, 且 $\oll{A}=n$ . 否则称无限集.

定义

记自然数集 $\mathbb{N}$ 的基数为 $\aleph_0$ .

和自然数集等势的集合称为可列集.

注

该部分名称与陆亚明《数学分析入门》中不同, 此处定义可数集为有限集+可列集, 也称其为至多可列集.

性质

任一无限集 $E$ 必包含一个可列子集.

注

该性质说明, 在众多无限集中, 最小的基数是 $\aleph_0$ .

性质

集合 $A$ 是无限集且基数为 $\alpha$ , 集合 $B$ 为可列集, 则 $A\cup B$ 的基数为 $\alpha$

证明

不妨设 $A\cap B=\varnothing$ , 由性质 \ref{prop:yingshe1} 可知存在可列集 $A_2$ 使得 $A=A_1\cup A_2\wedge A_1\cap A_2=\varnothing$ , 并记 $A_2=\{a_1,a_2,\ldots\}$ .

$B$ 可列 $\Rightarrow$ $B=\{b_1,b_2,\ldots\}$ .

定义

\begin{cases} \begin{aligned} f(a_n)=a_{2n}\\ f(b_n)=a_{2n-1} \end{aligned},\quad \forall n\geqslant 1\\ f(x)=x,\quad \forall x\in A. \end{cases}

性质

设 $A_n$ 是可列集, $\forall n\geqslant 1$ . 则

$\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n$ 是可列集.
$\bigoplus\limits_{i=1}^n A_i$ 为可列集, 其中 $\bigoplus$ 为笛卡尔积.
$\bigcup\limits_{n=1}^\infty A^n$ 可列, 其中 $A$ 为可列集.

例

$\mathbb{R}$ 中互不相交的开区间构成的集合是至多可列的.

证明

考虑每个开区间内都至少包含一个有理数, 从而得到该集合到有理数集某个子集的映射.

定理

设 $B$ 是全体自然数列构成的集合, 自然数列即由自然数组成的数列. 则 $B$ 不可数.

证明

反设 $B$ 可数, 那么我们可以将自然数列排成一列, 如下

\begin{aligned} a_{1,1} & a_{1,2} &\cdots & a_{1,n} & \cdots\\ a_{2,1} & a_{2,2} &\cdots & a_{2,n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots& a_{n,n} & \cdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots \end{aligned}

那么考虑数列 $A=\{a_{1,1}+1,a_{2,2}+1,\cdots,a_{n,n}+1,\cdots\}$ , 显然不存在一个数列和该数列相同, 所以 $A\notin B$ , 故 $B$ 不可数.

例

实区间 $[0,1]$ 是不可数集.

证明

考虑区间 $(0,1]$ , 对任意 $x\in(0,1]$ , 考虑 $x$ 的二进制表示法 $x=0.a_1a_2\cdots a_n\cdots,\ a_i\in\{0,1\}$ , 取出 $a_i=1$ 的位置, 即 $x=\sum\limits_{i=1}^\infty 2^{-n_i}$ , 其中 $\{n_i\}$ 是递增的自然数子集. 我们令 $k_1=n_1,k_i=n_i-n_{i-1},\forall i\geqslant 2$ , 那么 $\{k_i\}$ 是自然数列. 由此我们构造了自然数列到 $(0,1)$ 的双射. 根据定理 \ref{the:yingshe1} 可知 $(0,1]$ 不是可数集.

定义

我们称 $(0,1]$ 的基数是连续基数, 记为 $c$ (或 $\aleph_1$ ).

利用 $\tan$ 等函数我们可以知道 $(0,1)\sim\mathbb{R}$ , 故 $\oll{R}=c$ .

性质

设有集合列 $\{A_k\}$ . 若每个 $A_k$ 的基数都是连续基数, 则其并集 $\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k$ 的基数也是连续基数.

证明

有 $A_k\sim[k,k+1)$ , 故 $\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\sim[1,+\infty)\sim(0,1]$ .

定理无最大基数定理

若 $A$ 是非空集合, 则 $A$ 与其幂集 $\mathscr{P}(A)$ 不对等.

证明

采用反证法, 反设 $A\sim\mathscr{P}(A)$ , 则存在双射 $f:A\to\mathscr{P}(A)$ . 令 $B=\{y\in A:y\notin f(y)\}$ , 则 $\exists y\in A,s.t.\ f(y)=B$ .

下面分情况讨论:

(1) $y\in B$ , 则 $y\notin f(y)=B$ .
(2) $y\notin B$ , 则 $y\in f(y)=B$ .

均矛盾, 故假设不成立, 因此 $A$ 与 $\mathscr{P}(A)$ 不对等.

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