可测函数的定义与性质

例

若 $f(x,y)$ 是定义在 $\mathbb{R}^2$ 上的实值函数, 且对固定的 $x\in \mathbb{R}$ , $f(x,y)$ 是 $y\in\mathbb{R}$ 上的连续函数, 对固定的 $y\in\mathbb{R}$ , $f(x,y)$ 是 $x\in\mathbb{R}$ 上的可测函数, 则 $f(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的可测函数.

证明

作函数 $f_n(x,y)=f(x,\frac k n), \frac {k-1}{n}<y\leqslant \frac k n$ 因为对任意 $t\in\mathbb{R}$ 有

\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:f_n(x,y)<t\}=\bigcup\limits_{k=-\infty}^\infty\left\lbrace x\in\mathbb{R}:f(x,\frac k n)<t\right\rbrace\times \left(\frac {k-1} n, \frac k n\right],

所以 $f_n(x,y)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 上的可测函数. 而由题设易知

\lim\limits_{n\to\infty} f_n(x,y)=f(x,y),\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2.

例局部有界化

设 $0<m(A)<+\infty$ , $f(x)$ 是 $A\subset\mathbb{R}^n$ 上的可测函数, 且有 $0<f(x)<+\infty,\mae x\in A$ , 则对任给的 $\delta\in(0,m(A))$ , 存在 $B\subset A$ 以及自然数 $k_0$ , 使得

m(A\setminus B)<\delta,\quad \frac 1 {k_0}\leqslant f(x)\leqslant k_0,\quad x\in B.

证明

记 $A_k=\{x\in A: \frac 1 k\leqslant f(x)\leqslant k\},Z_1=\{x\in A: f(x)=0\},Z_2=\{x\in A:f(x)=+\infty\}$ , 易知 $m(Z_1)=m(Z_2)=0$ ,

A=\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty A_k\right)\cup Z_1\cup Z_2, \ A_k\subset A_{k+1}

于是可知 $m(A_k)\to m(A)$ , 从而存在 $k_0$ , 使得 $m(A\setminus A_{k_0})<\delta$ . 取 $B=A_{k_0}$ 即可.

定理简单函数逼近定理

[(i)]

若 $f(x)$ 是 $E$ 上的非负可测函数, 则存在非负可测的简单函数渐升列:

\varphi(x)\leqslant \varphi_{k+1}(x),

使得

\lim\limits_{k\to\infty}\varphi_k(x)=f(x)

若 $f(x)$ 是 $E$ 上的可测函数, 则存在可测简单函数列 $\{\varphi_k(x)\}$ , 使得 $|\varphi_k(x)|\leqslant|f(x)|$ , 且有

\lim\limits_{k\to\infty} \varphi_k(x)=f(x),\quad x\in E.

若 $f(x)$ 有界, 则上述收敛均是一致的.

证明

将 $[0,k]$ 等分为 $k2^k$ 个区间, 每个区间去左端点为函数值.

可测函数的定义与性质

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