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泛函分析：赋范空间 / 有限维线性赋范空间

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有限维线性赋范空间 #

definition

设 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n 是线性空间 XX 中的元素. 若存在 λ1,λ2,…,λn∈K\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K} 不全为零, 使得

∑k=1nλkxk=0, \sum_{k=1}^n \lambda_k x_k = 0,

则称 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n 线性相关, 否则称 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n 线性无关.

definition

若 AA 是 XX 中的一个极大线性无关组, 即 AA 中的元素都是线性无关的, 而且 XX 中的任何元素都能表示为 AA 中元素的线性组合, 则称 AA 是 XX 的一组基.

definition

XX 中极大线性无关组中元素的个数(势)称为 XX 的维数, 记作 dim⁡X\dim X. 若 dim⁡X<∞\dim X < \infty, 则称 XX 是有限维线性空间. 否则, 称 XX 为无限维线性空间.

{{< admonition tip “命题 有限维赋范空间的 Kn\mathbb{K}^n 范数” true >}} 设 (X,∥⋅∥)(X, \|\cdot\|) 为 B∗B^* 空间, 且 dim⁡X=n<∞\dim X = n < \infty. 设 e1,e2,…,ene_1, e_2, \dots, e_n 是 XX 中的一组基.

对任意的 x=∑k=1nξkek∈Xx = \sum_{k=1}^n \xi_k e_k \in X, 定义

Tx=(ξ1,ξ2,…,ξn)=:ξ∈Kn. Tx = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) =: \xi \in \mathbb{K}^n.

定义 Kn\mathbb{K}^n 上的范数为

∣ξ∣:=(∑k=1n∣ξk∣2)1/2,∀ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)∈Kn, |\xi| := \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k|^2 \right)^{1/2}, \quad \forall \xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) \in \mathbb{K}^n,

则存在 C1,C2>0C_1, C_2 > 0 使

C1∣Tx∣≤∥x∥≤C2∣Tx∣,∀x∈X. C_1 |Tx| \leq \|x\| \leq C_2 |Tx|, \quad \forall x \in X.
note

即要证存在 C1,C2>0C_1, C_2 > 0 使

C1≤∥x∣Tx∣∥≤C2⟺C1≤∥∑k=1nξk∣Tx∣ek∥≤C2,∀x∈X∖{0}. C_1 \leq \left\|\frac{x}{|Tx|}\right\| \leq C_2 \quad \Longleftrightarrow \quad C_1 \leq \left\|\sum_{k=1}^n \frac{\xi_k}{|Tx|} e_k \right\| \leq C_2, \quad \forall x \in X \setminus \{0\}.

为此, 考察函数

p(ξ):=∥∑k=1nξkek∥,∀ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)∈Kn. p(\xi) := \left\|\sum_{k=1}^n \xi_k e_k \right\|, \quad \forall \xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) \in \mathbb{K}^n.

注意到 ξ/∣Tx∣\xi / |Tx| 位于 Kn\mathbb{K}^n 的单位球面

Sn−1:={ξ∈Kn:∣ξ∣=1}. S^{n-1} := \{\xi \in \mathbb{K}^n : |\xi| = 1\}.

即要证明 pp 在 Sn−1S^{n-1} 上取得正的最小值和有限的最大值.

pp 是 Kn\mathbb{K}^n 上的连续函数, 且 Sn−1S^{n-1} 为紧集, 因此在单位球面上最值可达.

事实上, pp 还是 Kn\mathbb{K}^n 上的一致连续函数:

对任意的 ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)∈Kn, η=(η1,η2,…,ηn)∈Kn\xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) \in \mathbb{K}^n, \ \eta = (\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n) \in \mathbb{K}^n,

∣p(ξ)−p(η)∣=∥∑k=1nξkek−∑k=1nηkek∥ |p(\xi) - p(\eta)| = \left\| \sum_{k=1}^n \xi_k e_k - \sum_{k=1}^n \eta_k e_k \right\| (三角不等式) ≤∥∑k=1n(ξk−ηk)ek∥ \quad \text{(三角不等式)} \ \leq \left\| \sum_{k=1}^n (\xi_k - \eta_k) e_k \right\| (三角不等式) ≤∑k=1n∣ξk−ηk∣ ∥ek∥ \quad \text{(三角不等式)} \ \leq \sum_{k=1}^n |\xi_k - \eta_k| \, \|e_k\| (Cauchy-Schwarz 不等式) ≤(∑k=1n∣ξk−ηk∣2)1/2(∑k=1n∥ek∥2)1/2=C∣ξ−η∣. \quad \text{(Cauchy-Schwarz 不等式)} \ \leq \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k - \eta_k|^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{k=1}^n \|e_k\|^2 \right)^{1/2} = C |\xi - \eta|.

∙ p\bullet \ p 在 Sn−1S^{n-1} 上的最小值一定为正, 最大值一定有界.

definition

设 (X1,∥⋅∥1)(X_1, \|\cdot\|_1) 和 (X2,∥⋅∥2)(X_2, \|\cdot\|_2) 是两个 B∗B^* 空间.

若存在 (范数诱导距离意义下的) 等距同构映射

T:(X1,∥⋅∥1)→(X2,∥⋅∥2), T : (X_1, \|\cdot\|_1) \to (X_2, \|\cdot\|_2),

且 TT 是线性映射, 即

T(αx+βy)=αTx+βTy(∀α,β∈K, ∀x,y∈X1), T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty \quad (\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \ \forall x,y \in X_1),

此时, 称 B∗B^* 空间 (X1,∥⋅∥1)(X_1, \|\cdot\|_1) 和 (X2,∥⋅∥2)(X_2, \|\cdot\|_2) 等距同构.

info

设 (X,\norm⋅)(X,\norm\cdot) 是 B∗B^* 空间.

若 dimX=n<∞\text{dim} X=n<\infty, 则 (X,\norm⋅)(X,\norm\cdot) 与 (Kn,∣⋅∣)(\mathbb K^n,|\cdot|) 在代数上同构, 在拓扑上同胚.

同构: 保代数结构的双射; 保线性运算: T(αx+βy)=αTx+βTy.T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty.

同胚: 保拓扑结构的双射; 保拓扑: 映开集为开集 (TT 和 T−1T^{-1} 都连续).

tip

\

  • (X,∥⋅∥1)(X, \|\cdot\|_1) 和 (X,∥⋅∥2)(X, \|\cdot\|_2) 均为有限维赋范空间 (dim⁡X=n<∞\dim X = n < \infty), 则 ∃C1,C2>0\exists C_1, C_2 > 0 使 C1∥x∥1≤∥x∥2≤C2∥x∥1,∀x∈X.C_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1, \quad \forall x \in X.
  • 有限维 B∗B^* 空间完备.
  • B∗B^* 空间的有限维子空间是闭的.
  • 有限维 B∗B^* 空间中的有界集是列紧集.
tip

XX 是 B∗B^* 空间, X0X_0 是 XX 的真闭子空间.

则 ∀ε∈(0,1),∃y∈X\forall \varepsilon\in (0,1), \exists y\in X 使得 ∥y∥=1\Vert y \Vert=1 且 ∥y−x∥⩾1−ε(∀x∈X0)\Vert y-x \Vert\geqslant 1-\varepsilon(\forall x\in X_0).

tip

若 B∗B^* 空间 XX 中单位球面都是列紧的, 则 dim⁡X<∞\dim X < \infty.

note

反证法

假设 XX 是无穷维的, S:={x∈X:∥x∥=1}S := \{ x \in X : \|x\| = 1 \} 表示其单位球面. 任取 e0∈Se_0 \in S, 则 X0=span⁡{e0}X_0 = \operatorname{span}\{e_0\} 是 XX 的一个真闭子空间.

由 Riesz 引理可知 ∃e1∈X∖X0\exists e_1 \in X \setminus X_0 使 ∥e1∥=1\|e_1\| = 1 且 ρ(e1,X0)>1/2\rho(e_1, X_0) > 1/2. 令 X1=span⁡{e0,e1}X_1 = \operatorname{span}\{e_0, e_1\}, 它是 XX 的一个真闭子空间.

由 Riesz 引理可知 ∃e2∈X∖X1\exists e_2 \in X \setminus X_1 使 ∥e2∥=1\|e_2\| = 1 且 ρ(e2,X1)>1/2\rho(e_2, X_1) > 1/2.

⋯\cdots

得到点列 {en}⊂S\{e_n\} \subset S 满足 ∥en−em∥>1/2 (∀n≠m)\|e_n - e_m\| > 1/2\ (\forall n \ne m), 故不收敛.

info

无穷维 B∗B^* 空间的单位球面一定不是列紧集.

tip

设 X\mathscr X 是 B∗B^* 空间. dim⁡X<∞\dim \mathscr X<\infty 等价于 X\mathscr X 中的单位球面是列紧的.

tip

设 X\mathscr X 是 B∗B^* 空间. dim⁡X<∞\dim \mathscr X<\infty 等价于 X\mathscr X 中的所有有界集是列紧的.

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