有限维线性赋范空间

定义线性相关与线性无关

设 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是线性空间 $X$ 中的元素. 若存在 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ 不全为零, 使得

\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k = 0,

则称 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 线性相关, 否则称 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 线性无关.

定义基

若 $A$ 是 $X$ 中的一个极大线性无关组, 即 $A$ 中的元素都是线性无关的, 而且 $X$ 中的任何元素都能表示为 $A$ 中元素的线性组合, 则称 $A$ 是 $X$ 的一组基.

定义维数

$X$ 中极大线性无关组中元素的个数(势)称为 $X$ 的维数, 记作 $\dim X$ . 若 $\dim X < \infty$ , 则称 $X$ 是有限维线性空间. 否则, 称 $X$ 为无限维线性空间.

命题有限维赋范空间的 K^n 范数

设 $(X, \|\cdot\|)$ 为 $B^*$ 空间, 且 $\dim X = n < \infty$ . 设 $e_1, e_2, \dots, e_n$ 是 $X$ 中的一组基.

对任意的 $x = \sum_{k=1}^n \xi_k e_k \in X$ , 定义

Tx = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) =: \xi \in \mathbb{K}^n.

定义 $\mathbb{K}^n$ 上的范数为

|\xi| := \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k|^2 \right)^{1/2}, \quad \forall \xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) \in \mathbb{K}^n,

则存在 $C_1, C_2 > 0$ 使

C_1 |Tx| \leq \|x\| \leq C_2 |Tx|, \quad \forall x \in X.

证明

即要证存在 $C_1, C_2 > 0$ 使

C_1 \leq \left\|\frac{x}{|Tx|}\right\| \leq C_2 \quad \Longleftrightarrow \quad C_1 \leq \left\|\sum_{k=1}^n \frac{\xi_k}{|Tx|} e_k \right\| \leq C_2, \quad \forall x \in X \setminus \{0\}.

为此, 考察函数

p(\xi) := \left\|\sum_{k=1}^n \xi_k e_k \right\|, \quad \forall \xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) \in \mathbb{K}^n.

注意到 $\xi / |Tx|$ 位于 $\mathbb{K}^n$ 的单位球面

S^{n-1} := \{\xi \in \mathbb{K}^n : |\xi| = 1\}.

即要证明 $p$ 在 $S^{n-1}$ 上取得正的最小值和有限的最大值.

$p$ 是 $\mathbb{K}^n$ 上的连续函数, 且 $S^{n-1}$ 为紧集, 因此在单位球面上最值可达.

事实上, $p$ 还是 $\mathbb{K}^n$ 上的一致连续函数:

对任意的 $\xi = (\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_n) \in \mathbb{K}^n, \ \eta = (\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n) \in \mathbb{K}^n$ ,

|p(\xi) - p(\eta)| = \left\| \sum_{k=1}^n \xi_k e_k - \sum_{k=1}^n \eta_k e_k \right\|

\quad \text{(三角不等式)} \ \leq \left\| \sum_{k=1}^n (\xi_k - \eta_k) e_k \right\|

\quad \text{(三角不等式)} \ \leq \sum_{k=1}^n |\xi_k - \eta_k| \, \|e_k\|

\quad \text{(Cauchy-Schwarz 不等式)} \ \leq \left( \sum_{k=1}^n |\xi_k - \eta_k|^2 \right)^{1/2} \left( \sum_{k=1}^n \|e_k\|^2 \right)^{1/2} = C |\xi - \eta|.

$\bullet \ p$ 在 $S^{n-1}$ 上的最小值一定为正, 最大值一定有界.

定义赋范线性空间的同构

设 $(X_1, \|\cdot\|_1)$ 和 $(X_2, \|\cdot\|_2)$ 是两个 $B^*$ 空间.

若存在 (范数诱导距离意义下的) 等距同构映射

T : (X_1, \|\cdot\|_1) \to (X_2, \|\cdot\|_2),

且 $T$ 是线性映射, 即

T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty \quad (\forall \alpha, \beta \in \mathbb{K}, \ \forall x,y \in X_1),

此时, 称 $B^*$ 空间 $(X_1, \|\cdot\|_1)$ 和 $(X_2, \|\cdot\|_2)$ 等距同构.

注

设 $(X,\norm\cdot)$ 是 $B^*$ 空间.

若 $\text{dim} X=n<\infty$ , 则 $(X,\norm\cdot)$ 与 $(\mathbb K^n,|\cdot|)$ 在代数上同构, 在拓扑上同胚.

同构: 保代数结构的双射; 保线性运算: $T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty.$

同胚: 保拓扑结构的双射; 保拓扑: 映开集为开集 ( $T$ 和 $T^{-1}$ 都连续).

推论有限维赋范空间的性质

$(X, \|\cdot\|_1)$ 和 $(X, \|\cdot\|_2)$ 均为有限维赋范空间 ( $\dim X = n < \infty$ ), 则 $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq C_2 \|x\|_1, \quad \forall x \in X.$
有限维 $B^*$ 空间完备.
$B^*$ 空间的有限维子空间是闭的.
有限维 $B^*$ 空间中的有界集是列紧集.

引理 Riesz

$X$ 是 $B^*$ 空间, $X_0$ 是 $X$ 的真闭子空间.

则 $\forall \varepsilon\in (0,1), \exists y\in X$ 使得 $\Vert y \Vert=1$ 且 $\Vert y-x \Vert\geqslant 1-\varepsilon(\forall x\in X_0)$ .

定理

若 $B^*$ 空间 $X$ 中单位球面都是列紧的, 则 $\dim X < \infty$ .

证明

反证法

假设 $X$ 是无穷维的, $S := \{ x \in X : \|x\| = 1 \}$ 表示其单位球面. 任取 $e_0 \in S$ , 则 $X_0 = \operatorname{span}\{e_0\}$ 是 $X$ 的一个真闭子空间.

由 Riesz 引理可知 $\exists e_1 \in X \setminus X_0$ 使 $\|e_1\| = 1$ 且 $\rho(e_1, X_0) > 1/2$ . 令 $X_1 = \operatorname{span}\{e_0, e_1\}$ , 它是 $X$ 的一个真闭子空间.

由 Riesz 引理可知 $\exists e_2 \in X \setminus X_1$ 使 $\|e_2\| = 1$ 且 $\rho(e_2, X_1) > 1/2$ .

$\cdots$

得到点列 $\{e_n\} \subset S$ 满足 $\|e_n - e_m\| > 1/2\ (\forall n \ne m)$ , 故不收敛.

注

无穷维 $B^*$ 空间的单位球面一定不是列紧集.

定理

设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间. $\dim \mathscr X<\infty$ 等价于 $\mathscr X$ 中的单位球面是列紧的.

推论

设 $\mathscr X$ 是 $B^*$ 空间. $\dim \mathscr X<\infty$ 等价于 $\mathscr X$ 中的所有有界集是列紧的.

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