实变函数 / 习题/考试 / 作业 / 10

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第十次 #

P218/1,2,4,8,10,11

P218/1: 计算 $\underset{-1}{\overset{1}{\bigvee}}(x-x^3)$.

note

P218/2: 试证明 $\underset{a}{\overset{b}{\bigvee}}(f)=0$ 当且仅当 $f(x)=C$ (常数).

note

P218/4: 设 $f \in \mathrm{BV}([a,b])$, 试证明 $|f| \in \mathrm{BV}([a,b])$, 但反之不然.

note

P218/8: 试证明 $f \in \mathrm{BV}([a,b])$ 当且仅当存在 $[a,b]$ 上的递增函数 $F(x)$, 使得

$$|f(x') - f(x'')| \le F(x'') - F(x')\quad (a \le x' < x'' \le b).$$

note

P218/10: 设 $f\in\mathrm{BV}([a,b])$. 若有 $\bigvee\limits_a^b(f)=f(b)-f(a)$, 试证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上递增.

note

P218/11: 设 $f_n\in\mathrm{BV}([a,b])\ (n\in\mathbb{N})$. 级数 $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x),\sum\limits_{n=1}^\infty\bigvee\limits_a^x (f_n)$ 在 $[a,b]$ 上收敛, 试证明 $f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ 在 $[a,b]$ 上是有界变差函数.

note