偏微分方程：热方程 / 初值问题

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初值问题 #

definition

一维热传导方程初值问题:

\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=f(x,t), & x\in\mathbb{R},t>0\\ u(x,0)=\varphi(x), & x\in\mathbb{R} \end{cases}

Fourier 变换 #

definition

若 $f(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 那么积分

\hat f(\lambda)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-\text{i}\lambda x}\text{d} x

有意义, 称其为 $f$ 的 Fourier 变换, 记作 $\hat f$ .

tip

若 $f(x)\in L(-\infty,\infty)\cap C^1(-\infty,\infty)$ 那么我们有

\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-N}^N \hat f(\lambda)e^{\text{i} \lambda x}\text{d} \lambda=f(x)

称上式为反演公式. 亦称左侧积分为 Fourier 逆变换, 记为 $(\hat f(\lambda))^\vee$ . 故反演公式可记为 $(\hat{f})^\vee=f$ .

abstract

(线性性质) 若 $f_i(x)\in L(-\infty,\infty),a_i\in\mathbb{C}$ , 则

(a_1f_1+a_2f_2)^\land=a_1\hat f_1+a_2\hat f_2.

(微商性质) 若 $f(x),f'(x)\in C(-\infty,\infty)\cap L(-\infty,\infty)$ , 则

\left(\dfrac{\text{d} f}{\text{d} x}\right)^\wedge=\text{i} \lambda\hat f.

(乘多项式) 若 $f(x),xf(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 则有

(xf(x))^\land=\text{i}\frac{\text{d}}{\text{d}\lambda}\hat f(\lambda).

若 $f(x),\cdots,f^(m)(x)\in C(-\infty,\infty)\cap L(-\infty,\infty)$ , 则

\left(\frac{\text{d}^m f}{\text{d} x^m}\right)^\land=(\text{i}\lambda)^m\hat f(\lambda)

若 $f(x),\cdots,x^m f(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 则

(x^mf(x))^\wedge (\lambda)=\text{i}^m\frac{\text{d}^m}{\text{d}\lambda^m}\hat f(\lambda)

(平移性质) 若 $f(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 则

(f(x-a))^\land(\lambda)=e^{-\text{i}\lambda a}\hat f(\lambda)

(伸缩性质) 若 $f(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 则

(f(kx))^\land (\lambda)=\frac{1}{|k|}\hat f(\frac{\lambda}{k}),\quad k\neq 0

(对称性质) 若 $f(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 则

(f(x))^\vee(-\lambda)=\hat f(-\lambda)=[f(-x)]^\land(\lambda)

(卷积性质) 若 $f(x),g(x)\in L(-\infty,\infty)$ , 则

f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x-t)g(t)\text{d} t\in L(-\infty,\infty)

且有

(f*g)^\land (\lambda)=\sqrt{2\pi}\hat f\hat g

下面看高维情形

definition

设 $f(\vec x)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in L(\mathbb{R}^n)$ , 那么积分

\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(\vec x)e^{-\text{i}\vec\lambda\cdot\vec x}\text{d} \vec x=\hat f(\vec \lambda)

有意义, 称为 $f(\vec x)$ 的 Fourier 变换.

tip

若 $f(\vec x)\in C^1(\mathbb{R}^n)\cap L(\mathbb{R}^n)$ , 则有

(\hat f(\lambda))^\vee (\vec x)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}\lim\limits_{N\to\infty}\int_{|\vec\lambda|\leqslant N}\hat f(\vec\lambda)e^{\text{i}\vec\lambda\cdot\vec x}\text{d}\vec \lambda=f(\vec x)

abstract

之前关于一维 Fourier 变换的性质对多维仍成立, 且还有如下性质.

若 $f(\vec x)=f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_n(x_n)$ , 其中 $f_i(x_i)\in L(-\infty,\infty)$ , 则有

\hat f(\vec\lambda)=\prod\limits_{i=1}^n\hat f_i(\lambda_i).

example

对于函数 $f(\vec x)=e^{-A|\vec x|^2}$ .

\hat f(\vec \lambda)=\prod\limits_{i=1}^n(e^{-Ax_i^2})^\land =\prod\limits_{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2A}}e^{-\lambda_i^2/(4A)}=\frac{1}{(\sqrt{2A})^n}e^{-|\vec\lambda|^2/(4A)}

Poisson 公式 #

对于热传导方程的初值问题, 利用 Fourier 变换进行求解. 得到 Poisson 公式

u(x,t)=\int_{-\infty}^\infty K(x-\xi,t)\varphi(\xi)\text{d} \xi+\int_{0}^t\text{d} \tau\int_{-\infty}^\infty K(x-\xi,t-\tau)f(\xi,\tau)\text{d}\xi

其中

K(x,t)=\begin{cases} \dfrac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-x^2/(4a^2t)}, & t>0,\\ 0, & t\leqslant 0. \end{cases}

并称 $\Gamma(x,t;\xi;\tau)=K(x-\xi,t-\tau)$ 为热传导方程的基本解.

广义函数 #

definition

用 $C_0^\infty(\mathbb{R})$ 表示所有当 $|x|$ 充分大时恒等于零的无穷次连续可微函数 $\varphi$ 的集合.

如果 $\varphi(x)\in C_0^\infty(\mathbb{R}),\varphi_n(x)\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ 且

(1) 存在 $M>0$ , 使得当 $|x|\geqslant M$ 时, $\varphi(x)\equiv \varphi_n(x)\equiv 0$ .
(2)

\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{-M,M}|\varphi_n(x)-\varphi(x)|=0

\lim\limits_{n\to\infty}\max\limits_{[-M,M]}|\varphi_n^{(k)}(x)-\varphi^{(k)}(x)|=0

则称 $\{\varphi_n\}$ 收敛于 $\varphi$ . 规定了上述收敛性的线性空间 $C_0^\infty(\mathbb{R})$ 称为基本空间 $\mathscr D(\mathbb{R})$ . $\varphi\in\mathscr D(\mathbb{R})$ 称为试验函数.

definition

如果 $f:\mathscr D(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$ 是线性连续泛函, 则称 $f$ 是一个广义函数. 设 $\varphi\in\mathscr D(\mathbb{R})$ 是一个试验函数, 用 $\langle f,\varphi\rangle$ 表示它所对应的数值, 称为对偶积.

所有广义函数构成的集合记作 $\mathscr D'(\mathbb{R})$ .

example

设广义函数 $\delta$ 函数满足 $\langle \delta,\varphi\rangle=\varphi(0)$ .

definition

若在任何有限区间 $(a,b)$ 上积分

\int_a^b|f(x)|\text{d} x

存在, 则称 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上的局部绝对可积函数.

记 $L_{loc}(\mathbb{R})$ 表示所有局部可积函数的集合.

abstract

绝对可积函数 $f$ 是广义函数, 设

\langle f,\varphi\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\varphi(x)\text{d} x

从而 $L_{loc}(\mathbb{R})\subset\mathscr{D}'(\mathbb{R})$ .

definition

广义函数 $f$ 的微商 $f'$ 也是广义函数, 用下式定义

\langle f',\varphi\rangle=-\langle f,\varphi'\rangle,\quad \forall \varphi\in\mathscr D(\mathbb{R}).

据此, 可继续定义 k 阶导数

\langle f^{(k)},\varphi\rangle=(-1)^k\langle f,\varphi^{(k)}\rangle,\forall \varphi\in\mathscr D(\mathbb{R})

example

definition

广义函数 $f$ 的平移也是广义函数,

\langle f(x-\xi),\varphi\rangle=\langle f,\varphi(x+\xi)\rangle

特别的,

\langle\delta(x-\xi),\varphi\rangle=\langle\delta,\varphi(x+\xi)\rangle=\varphi(\xi)

基本解 #

definition

设 $Q=\{(x,t):-\infty<x<\infty,t>0\}$ , 对任意 $(\xi,\tau)\in Q$ , 如果函数 $u(x,t)\in L_{loc}(Q)\cap C(\overline{Q}\setminus (\xi,\tau))$ 且在广义函数的意义下满足方程与初始条件

\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=\delta(x-\xi,t-\tau), & (x,t)\in Q,\\ u(x,0)=0, & -\infty<x<\infty \end{cases}

则称它为热传导方程的基本解, 记为 $\Gamma(x,t;\xi,\tau)$ .

半无界问题 #

第一边值问题

question

\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=f(x,t), & 0<x<\infty, t>0\\ u(0,t)=g(t), & t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), & 0\leqslant x<\infty. \end{cases}

当 $g(t)\equiv 0$ 时, 考虑奇延拓法, 则可得到

\displaystyle\begin{aligned} \overline{u}(x,t)=&\mint[0]^\infty[\Gamma(x-\xi,t)-\Gamma(x+\xi,t)]\varphi(\xi)\text{d} \xi\\ &+\mint[0]^t\text{d}\tau\mint[0]^\infty [\Gamma(x-\xi,t-\tau)-\Gamma(x+\xi,t-\tau)]f(\xi,\tau)\text{d} \xi. \end{aligned}

其中

\Gamma(x,t)=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2 t}}

是基本解

则解

u(x,t)=\overline{u}(x,t)\big|_{x\geqslant 0}

而当 $g(t)\neq 0$ 时, 设 $u(x,t)=v(x,t)+g(t)$ . 则 $v(x,t)$ 满足条件.

第二边值问题

question

\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=f(x,t), & 0<x<\infty, t>0\\ u_x(0,t)=g(t), & t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x), & 0\leqslant x<\infty. \end{cases}

当 $g(t)\equiv0$ 时, 考虑偶延拓.

则

\begin{aligned} \overline{u}(x,t)=&\mint[0]^\infty[\Gamma(x-\xi,t)+\Gamma(x+\xi,t)]\varphi(\xi)\text{d} \xi\\ &+\mint[0]^t\text{d}\tau\mint[0]^\infty [\Gamma(x-\xi,t-\tau)+\Gamma(x+\xi,t-\tau)]f(\xi,\tau)\text{d} \xi. \end{aligned}

而当 $g(t)\neq 0$ 时, 设 $u(x,t)=v(x,t)+xg(t)$ . 则 $v(x,t)$ 满足条件.

question

题目 #

利用函数

\phi(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{-\xi^2}\text{d} \xi

求解以下半无界问题:

(1) $\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}=0, & x>0, t>0\\ u(x,0)=0, & x\geqslant 0\\ u(0,t)=U_0, & t>0 \end{cases}$

初值问题 #

Fourier 变换 #

Poisson 公式 #

广义函数 #

基本解 #

半无界问题 #

第一边值问题

第二边值问题

题目 #

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