复变函数 / 复变量函数 / 概念

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复变量函数的概念 #

定义 #

definition

设 $1$

常用变换:

• (1) 平移变换: 线性函数 $w=z+z_0$ 其中 $z_0$ 为常数, 这个函数把所有点向 $z_0$ 方向, 平移 $|z_0|$ 的距离.
• (2) 相似变换: 线性函数 $w=az$, 其中 $a\in \R_{>0}$.
• (3) 旋转变换: 线性函数 $w=az$, 其中 $|a|=1\wedge a\notin \mathbb{R}$.
• (4) 任何一个线性函数 $w=az+b$ 都可以表示为平移、旋转和相似变换的复合.
• (5) 分式线性变换: $w=\dfrac{az+b}{cz+d},\ (ad-bc\neq 0)$.

基本事实: 一个复变量函数可以用两个二元实函数表出. $f(z)=u(x,y)+\text{i} v(x,y)$.

以 $e$ 为底的指数函数 $z=x+\text{i} y,e^z=e^{x+\text{i} y}=e^x(\cos y+\text{i}\sin y)$.

definition

设 $\Gamma$ 是一个以 $A$ 为中心、以 $R$ 为半径的圆周. 对于给定的一点 $P\neq A$, 若一点 $Q$ 满足:

• $A,P,Q$ 共线.
• 向量 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{AQ}$ 有相同的方向.
• $|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{AQ}|=R^2$.

则称 $Q$ 是点 $P$ 关于圆周 $\Gamma$ 的对称点.

反演 #

definition

把点对应到关于圆周 $\Gamma$ (或直线 $L$) 的对称点的映射, 称为关于 $\Gamma$ (或 $L$) 的反演变换.

example

映射 $z\to\overline{z}$ 就是关于实轴的反演变换.

映射 $z\to\dfrac{1}{z}$ 也就是倒数变换, 就是关于单位圆的反演变换.

tip

任何一个分式线性变换总可以表成平移、旋转、相似和倒数变换的复合.

反函数 #

definition

反函数: 对于双射 $f$, 其逆映射称为反函数.

有界函数与周期函数 #

definition

设 $f(z)$ 在集合 $E$ 中有定义. 如果存在一个正的实数 $M$ 使得

$$|f(z)|\leqslant M,\quad \forall z\in E$$

则称之为有界函数.

definition

设 $f(z)$ 在 $\mathbb{C}$ 上有定义. 若存在一个复数 $\omega$ 使得下式成立:

$$f(z+\omega)=f(z),\quad \forall z\in\mathbb{C},$$

则称 $f(z)$ 是一个周期函数, 并称 $\omega$ 是它的一个周期.