偏微分方程：第 6 次作业

(1) 边界条件 $u(R,\theta)=A\cos\theta$。

比较系数得只有 $n=1$ 的余弦项存在： $a_1 R = A.$

故 $u(r,\theta)=\frac{A}{R}r\cos\theta.$

(2) 边界条件 $u(R,\theta)=A+B\sin\theta$。

由傅里叶系数比较得 $a_0=A,\qquad b_1=\frac{B}{R}.$

因此 $u(r,\theta)=A+\frac{B}{R}r\sin\theta.$

(3) 边界条件 $u(R,\theta)=A\sin^2\theta+B\cos^2\theta$。

利用 $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2},\quad \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2},$

得 $u(R,\theta)=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\cos2\theta.$

故在圆内的调和函数包含常数项和 $r^2\cos2\theta$ 项： $u(r,\theta)=a_0+r^2 a_2\cos2\theta.$

比较系数得到 $a_0=\frac{A+B}{2},\qquad a_2=\frac{B-A}{2R^2}.$

因此 $u(r,\theta)=\frac{A+B}{2}+\frac{B-A}{2}\frac{r^2}{R^2}\cos2\theta.$

令 $w(r,\theta)=r\frac{\partial u}{\partial r}.$

可直接计算得 $\Delta w=0.$

并且在边界 $r=a$ 上， $w(a,\theta)=a\varphi(\theta).$

因此 $w$ 是圆盘内满足 Dirichlet 边值的调和函数，由 Poisson 公式

由 $u_r = \frac{w}{r}, \quad u(r,\theta)=C+\int_0^r \frac{w(\rho,\theta)}{\rho}\,d\rho,$ 进行积分，并利用

由于题设条件

使得与 $\alpha$ 无关的部分积分后消失。

最终得到

(1) 证明调和性：

定义 $v(r,\theta)=u\!\left(\frac{R^2}{r},\theta\right),\qquad 0<r<R.$

设 $\rho=\frac{R^2}{r}.$

带入可得

由于 $u$ 在外部区域调和，$\Delta u=0$，故 $\Delta v=0.$

(2) 求外部 Dirichlet 问题的解：

在 $r=R$ 上 $v(R,\theta)=u(R,\theta)=\varphi(\theta).$

因此 $v$ 是内部 Dirichlet 问题的解，可用 Poisson 公式：

由 Kelvin 变换

代入上式化简得外部 Poisson 公式：

当 $r\to\infty$ 时，有界性来自于

故外部 Dirichlet 问题的解即为上述 Poisson 表达式。

上半平面的 Poisson 核为 $P(x,y;\xi)=\frac{1}{\pi}\frac{y}{(x-\xi)^2+y^2}.$

给定边界函数 $f$，Poisson 公式 $u(x,y)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} P(x,y;\xi)\,f(\xi)\,d\xi$ 给出候选解。

(1) 证明调和性： 直接计算可得 Poisson 核满足 $\Delta_{x,y} P(x,y;\xi)=0 \qquad (y>0).$

因此 $\Delta u(x,y)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(\xi)\,\Delta P(x,y;\xi)\,d\xi=0.$

(2) 证明边界条件： Poisson 核满足逼近单位性质

于是对连续的 $f$，有