统计量及其分布2

样本方差与标准差 #

定义

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 为取自某个总体的样, 则它关于样本均值 $\overline{x}_n$ 的平均偏差平方和

\begin{equation} s_n^2=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x}_n)^2 \end{equation}

称为样本方差. 其算数根 $s_n=\sqrt{s_n^2}$ 为样本标准差.

在 $n$ 不大时, 常用

\begin{equation} s^2=\dfrac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\overline{x}_n)^2 \end{equation}

作为样本方差, 也称无偏方差. 实际中 $s^2$ 也更常用, 以后讲样本方差通常是指 $s^2(s_n^2)$ .

定理

设 $E(x)=\mu,\var(X)=\sigma^2<\infty$ , 则样本方差 $s_n^2$ 满足.

E(s_n^2)=\sigma^2,\quad\var(s_n^2)=.

样本矩及其函数 #

定义

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是样本, $r$ 为正整数. 统计量

\begin{equation} M_r'=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=1}^n X_i^r \end{equation}

称为样本 $r$ 阶原点矩.

\begin{equation} M_r=\dfrac 1 n\sum\limits_{i=1}^n (X_i^r-\overline{x}_n) \end{equation}

称为样本 $r$ 阶中心矩.

定理

$E(M_r')=\mu_r',\quad,\var(M_r')=\dfrac 1 n\left[\mu_{2r}'-(\mu_r')^2\right]$

定义样本变异系数

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自总体 $X$ 的随机样本, $\overline{X}_n$ 是样本均值且不为 $0$ , $S_n$ 是样本标准差, 则称统计量

\hat{v}=\dfrac{S_n}{\overline{X}_n}

为样本变异系数.

定义

称统计量 $\hat{\gamma}=\dfrac{M_3}{M_2^{\frac 3 2}}=\dfrac{\sqrt{n}\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^3}{\left(\sum\limits_{i=1}^n(X_i-\overline{X}_n)^2\right)^{\frac 3 2}},$ 为样本偏度.

(a) $\hat{\gamma}=0$ , 完全对称.
(b) $\hat{\gamma}>0$ , 右偏.
(c) $\hat{\gamma}<0$ , 左偏.

定义

称统计量 $\hat{\nu}=\dfrac{M_4}{(M_2)^2}-3$ , 为样本峰度.

次序统计量及其分布 #

令 $Y_1\leqslant Y_2\leqslant\cdots\leqslant Y_n$ 表示来自总体 pdf $f(\cdot)$ 的随机变量 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 的次序统计量.

样本极差: $Y_n-Y_1$ .

中列数/中矩: $\dfrac{Y_1+Y_n}{2}$ .

样本方差与标准差 #

样本矩及其函数 #

次序统计量及其分布 #

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