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Homework 3 #

姓名: 刘欣楠 班级: 数学强基 2301 学号: 2233310237

求下列规划问题的 K-T 点

\begin{cases} \min & f(x_1,x_2)=(x_1-3)^2+(x_2-2)^2\\ s.t. & g_1(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2-5\leqslant 0 \\ & g_2(x_1,x_2)=x_1+2x_2-4\leqslant 0\\ & g_3(x_1,x_2)=-x_1\leqslant 0 \\ & g_4(x_1,x_2)=-x_2\leqslant 0 \end{cases}

note

$L(x,\lambda)=(x_1-3)^2+(x_2-2)^2+\lambda_1(x_1^2+x_2^2-5)+\lambda_2(x_1+2x_2-4)+\lambda_3(-x_1)+\lambda_4(-x_2)$

该问题的 K-T 条件为

\begin{cases} 2(x_1-3)+2\lambda_1x_1+\lambda_2-\lambda_3 = 0\\ 2(x_2-2)+2\lambda_1x_2+2\lambda_2-\lambda_4 = 0\\ \lambda_1(x_1^2+x_2^2-5)=0\\ \lambda_2(x_1+2x_2-4)=0\\ \lambda_3x_1=0,\ \lambda_4x_2=0,\ \lambda_i \geqslant 0. \end{cases}

解得 $x=(2,1),\lambda=(\frac13,\frac23,0,0)$ .

故唯一得 K-T 点为 $(x_1,x_2)=(2,1),\lambda=(\frac13,\frac 23,0,0)$ .

某企业的生产函数 $Q=3K^{\frac 13}L^{\frac 12}$ , 它表示在资本投入和劳动投入分别为 $K$ 和 $L$ 时, 某种产品的产出量为 $Q$ . 若产品价格为 $P=4$ , 要素投入价格分别为 $P_K=4,\ P_L=3$ , 试求该企业得到最大利润时要素投入水平.

note

利润 $\pi(K,L)=pQ-P_KK-P_LL=12K^{\frac 13}L^{\frac 12}-4K-3L$ .

一阶条件

\begin{cases} \frac{\partial \pi}{\partial K}=4K^{-2/3}L^{1/2}-4=0\\ \frac{\partial\pi}{\partial L}=6K^{1/3}L^{-1/2}-3=0 \end{cases}

解得 $K=8, L=16$ .

此时产量 $Q=24$ 利润为 $16$ . 由于利润时凹得所以是全局最优解.

故投入 $K=8,\ L=16$ .