偏微分方程习题 7：Harnack 定理与极值原理

设 $\Omega\subset\mathbb R^n$ 为有界域，$\{u_N\}\subset C(\overline{\Omega})\cap C^2(\Omega)$， 且对每个 $N$，$u_N$ 在 $\Omega$ 内调和，即 $\Delta u_N = 0.$ 又已知 $\{u_N\}$ 在 $\partial\Omega$ 上一致收敛于某个连续函数 $g$，即 $\sup_{x\in\partial\Omega}|u_N(x)-g(x)|\to 0\quad (N\to\infty).$

取任意 $N,M\in\mathbb N$，考虑 $w_{N,M} := u_N - u_M.$ 由于差仍然是调和函数，$w_{N,M}$ 在 $\Omega$ 内调和且连续延拓到 $\overline{\Omega}$。

由调和函数的最大值原理（及其对闭包的推广：极大值只能在边界取得），对 $w_{N,M}$ 与 $-w_{N,M}$ 分别应用可得

于是

也就是说 $\sup_{x\in\overline{\Omega}}|u_N(x)-u_M(x)| \le \sup_{x\in\partial\Omega}|u_N(x)-u_M(x)|.$

由于 $\{u_N\}$ 在 $\partial\Omega$ 上一致收敛，因此在 $\partial\Omega$ 上是一致 Cauchy 的，即 $\sup_{x\in\partial\Omega}|u_N(x)-u_M(x)| \xrightarrow[N,M\to\infty]{} 0.$

由上式推得 $\sup_{x\in\overline{\Omega}}|u_N(x)-u_M(x)| \xrightarrow[N,M\to\infty]{} 0,$ 故 $\{u_N\}$ 在 $\overline{\Omega}$ 上也是一致 Cauchy 列。由于 $C(\overline{\Omega})$ 在一致范数下完备， 存在 $u\in C(\overline{\Omega})$，使得 $u_N \to u \quad\text{在 }\overline{\Omega}\text{ 上一致收敛}.$ 特别地，在 $\partial\Omega$ 上 $u=g$，即 $u|_{\partial\Omega}=g$。

取任意一点 $x_0\in\Omega$。由于 $\Omega$ 是开集，可以取 $r>0$，使得闭球 $\overline{B_r(x_0)} := \{x\in\mathbb R^n : |x-x_0|\le r\}$ 满足 $\overline{B_r(x_0)}\subset\Omega$。

对每个 $N$，因为 $u_N$ 在 $\Omega$ 内调和，所以满足球面平均值性质： $u_N(x_0) = \frac{1}{|\partial B_r(x_0)|} \int_{\partial B_r(x_0)} u_N(y)\,dS_y,$ 其中 $|\partial B_r(x_0)|$ 为球面面积。

另一方面，我们已经知道 $u_N\to u$ 在 $\overline{\Omega}$ 上一致收敛，因此在紧集 $\partial B_r(x_0)\subset\overline{\Omega}$ 上也一致收敛。于是 $\sup_{y\in\partial B_r(x_0)}|u_N(y)-u(y)| \xrightarrow[N\to\infty]{} 0.$

故可将极限换入积分号内：

这表明对任意 $x_0\in\Omega$ 及足够小的 $r>0$（使得 $\overline{B_r(x_0)}\subset\Omega$）， 都有 $u(x_0) = \frac{1}{|\partial B_r(x_0)|} \int_{\partial B_r(x_0)} u(y)\,dS_y.$ 也就是说，$u$ 在 $\Omega$ 内满足球面平均值性质。

由调和函数理论中的标准定理：若 $u\in C(\Omega)$ 并在 $\Omega$ 内对每个球满足平均值性质， 则 $u$ 在 $\Omega$ 内调和（即 $u\in C^\infty(\Omega)$ 且 $\Delta u=0$）。因此可得 $\Delta u = 0\quad \text{于 } \Omega.$

综上，$\{u_N\}$ 在 $\overline{\Omega}$ 上一致收敛于某个 $u\in C(\overline{\Omega})$， 且 $u$ 在 $\Omega$ 内为调和函数，命题得证。

(1) 在原点处的估计

因为 $u$ 在 $B(R)$ 内调和且在闭圆盘上连续, 由调和函数的平均值性质（对圆盘的版本）可得

于是

对右侧应用 Cauchy–Schwarz 不等式:

于是

(1) 得证.

(2) 圆盘内部任意点的估计

令 $(x_0,y_0)\in B(R)$, 记 $r=\sqrt{x_0^2+y_0^2}<R$. 则点 $(x_0,y_0)$ 到边界圆周的距离为 $R-r$. 对任意 $0<\rho<R-r$, 以 $(x_0,y_0)$ 为心、半径 $\rho$ 的闭圆盘 $\overline{B_\rho(x_0,y_0)}=\{(x,y): (x-x_0)^2+(y-y_0)^2\le \rho^2\}$ 都满足 $\overline{B_\rho(x_0,y_0)}\subset B(R)$.

由于 $u$ 在 $B(R)$ 内调和, 由平均值性质可得 $u(x_0,y_0) = \frac{1}{\pi\rho^2}\iint_{B_\rho(x_0,y_0)}u(x,y)\,dx\,dy.$ 从而 $|u(x_0,y_0)| \le \frac{1}{\pi\rho^2}\iint_{B_\rho(x_0,y_0)}|u(x,y)|\,dx\,dy.$ 同样使用 Cauchy–Schwarz 不等式:

注意 $\iint_{B_\rho(x_0,y_0)}1^2\,dx\,dy = \pi\rho^2$ 且

于是得到 $\iint_{B_\rho(x_0,y_0)}|u| \le (\pi\rho^2)^{\frac12}M^{\frac12}.$ 代回不等式:

这对任意 $0<\rho<R-r$ 都成立. 由于函数 $f(\rho)=\dfrac{1}{\rho}$ 在 $(0,R-r)$ 上单调递减, 故

将 $(x_0,y_0)$ 改写为一般 $(x,y)$, $r=\sqrt{x^2+y^2}$, 即得 $|u(x,y)|\le \frac{1}{R-r}\left(\frac{M}{\pi}\right)^{\frac12}, \quad (x,y)\in B(R),\ r=\sqrt{x^2+y^2}.$

因此 (2) 亦得证.

记 $w(x,y):=v(x,y)-u(x,y),\qquad (x,y)\in B(R)\setminus\{O\}.$ 则有 $\Delta w = \Delta v - \Delta u = 0-0 = 0 \quad\text{在 } B(R)\setminus\{O\},$ 即 $w$ 在穿心圆盘 $B(R)\setminus\{O\}$ 内调和；并且由于 $u,v$ 都在 $\partial B(R)$ 上连续且 $v|_{\partial B(R)}=\varphi=u|_{\partial B(R)},$ 故 $w|_{\partial B(R)} = v-u = 0.$ 又因为 $v$ 有界、$u$ 在 $\overline{B(R)}$ 上连续，所以在 $B(R)\setminus\{O\}$ 上 $|w(x,y)| = |v(x,y)-u(x,y)| \le |v(x,y)|+|u(x,y)| \le C_1,$ 即 $w$ 在 $B(R)\setminus\{O\}$ 上也是有界的调和函数。

从而存在 $\tilde w\in C^\infty(B(R))$， 在整个 $B(R)$ 内调和且满足 $\tilde w(x,y)=w(x,y)=v(x,y)-u(x,y), \quad (x,y)\in B(R)\setminus\{O\}.$

由于 $\tilde w$ 在 $B(R)$ 内调和且连续延拓到闭圆盘 $\overline{B(R)}$，并且在边界上有 $\tilde w|_{\partial B(R)}=w|_{\partial B(R)}=0,$ 由调和函数的最大值原理可知

因此 $\tilde w\equiv 0\quad\text{于 } B(R).$

在 $B(R)\setminus\{O\}$ 内有 $v-u = w = \tilde w \equiv 0,$ 故 $u(x,y)\equiv v(x,y),\qquad (x,y)\in B(R)\setminus\{O\}.$ 这说明 $v$ 在 $O$ 点的奇点实际上是可去的。 将 $v$ 在 $B(R)\setminus\{O\}$ 上与 $u$ 相等的延拓定义为 $v(O):=u(O),$ 即可得到一个在整个 $B(R)$ 上调和的函数（即 $u$ 本身），从而 $O$ 为 $v$ 的可去奇点。

(1) 情形 $c(x)\ge C_0>0$.

记 $M:=\max_{\overline{\Omega}}u(x)$，取点 $x_0\in\overline{\Omega}$ 使得 $u(x_0)=M$。 因为 $u|_{\partial\Omega}=0$，若 $M>0$，则 $x_0$ 必在内部：$x_0\in\Omega$。 在 $x_0$ 处有 $\nabla u(x_0)=0,\qquad \Delta u(x_0)\le 0.$ 由方程 $-\Delta u(x_0) + c(x_0)u(x_0) = f(x_0)$ 得 $-\Delta u(x_0) = f(x_0) - c(x_0)u(x_0).$ 注意到 $-\Delta u(x_0)\ge 0$，且 $c(x_0)\ge C_0$，于是 $0 \le -\Delta u(x_0) = f(x_0) - c(x_0)u(x_0) \le |f(x_0)| - C_0\,u(x_0).$ 因此 $C_0\,M \le |f(x_0)| \le \sup_{x\in\Omega}|f(x)|=\|f\|_{L^\infty(\Omega)},$ 从而 $M\le C_0^{-1}\|f\|_{L^\infty(\Omega)}.$

若 $M\le 0$，则 $u\le 0$，自然有 $u(x)\le C_0^{-1}\|f\|_\infty$ 对一切 $x$ 成立。 因此总有 $\max_{\overline{\Omega}}u(x) \le C_0^{-1}\|f\|_{L^\infty(\Omega)}.$

对 $-u$ 重复上述论证可得 $\max_{\overline{\Omega}}(-u(x))\le C_0^{-1}\|f\|_{L^\infty(\Omega)},$ 即 $\min_{\overline{\Omega}}u(x) \ge - C_0^{-1}\|f\|_{L^\infty(\Omega)}.$

综上， $\max_{\overline{\Omega}}|u(x)| = \max\Big\{\max_{\overline{\Omega}}u,\ -\min_{\overline{\Omega}}u\Big\} \le C_0^{-1}\|f\|_{L^\infty(\Omega)}.$ 即 (1) 得证。

(2) 情形 $c(x)\ge 0$ 且有界。

设 $0\le c(x)\le C_1\quad (x\in\Omega),$ 其中 $C_1$ 为常数，$\mathrm{diam}(\Omega)$ 为 $\Omega$ 的直径。

首先回顾一个对泊松方程的标准估计： 若 $w$ 解

则存在常数 $C(\Omega)$，使得 $\|w\|_{L^\infty(\Omega)} \le C(\Omega)\,\|g\|_{L^\infty(\Omega)}.$ 并且可以取 $C(\Omega)\lesssim \mathrm{diam}(\Omega)^2$，即 $C(\Omega)$ 与域的直径成二次量级。

现在对原方程 $-\Delta u + c(x)u = f(x)$ 视为 $-\Delta u = f(x) - c(x)u(x).$ 令 $g(x) := f(x) - c(x)u(x),$ 则 $u$ 满足泊松方程 $-\Delta u = g$ 且 $u|_{\partial\Omega}=0$，从而

将 $\|u\|_{L^\infty}$ 移到左边，有 $\bigl(1 - C(\Omega)C_1\bigr)\,\|u\|_{L^\infty(\Omega)} \le C(\Omega)\,\|f\|_{L^\infty(\Omega)}.$

由于 $C(\Omega)$ 与 $\Omega$ 的直径有关，而 $C_1$ 是 $c$ 的上界， 对给定的 $\Omega$ 和 $c$，$C(\Omega)C_1$ 是一个固定常数。 若 $C(\Omega)C_1<1$，则可直接得到 $\|u\|_{L^\infty(\Omega)} \le \frac{C(\Omega)}{1-C(\Omega)C_1}\,\|f\|_{L^\infty(\Omega)}.$

因此我们得到所要求的估计

其中 $M$ 依赖于 $c(x)$ 的上界与 $\Omega$ 的直径，这就证明了 (2) 的结论。

(3) 若 $c(x)<0$，最大模估计一般不成立的反例。

取一维情形即可。设 $\Omega = (0,\pi),\qquad c(x)\equiv -1<0,\qquad f(x)\equiv 0.$ 考虑

取 $u(x) = \sin x.$ 则 $u''(x) = -\sin x,\quad -u''(x) - u(x) = -(-\sin x)-\sin x = 0,$ 且 $u(0)=u(\pi)=0$，所以 $u$ 是该定解问题的非平凡解。 但此时 $f\equiv 0\quad\Rightarrow\quad \sup_{\Omega}|f(x)| = 0,$ 而 $\sup_{\overline{\Omega}}|u(x)| = 1.$ 若存在某个常数 $M>0$ 使得 $\sup_{\overline{\Omega}}|u(x)|\le M\,\sup_{\Omega}|f(x)|,$ 则右侧为 $M\cdot 0 = 0$，这与 $\sup|u|=1$ 矛盾。

因此，当 $c(x)<0$ 时，上述形式的最大模估计一般不成立。

设 $u\in C^2(\Omega)\cap C(\overline{\Omega})$，满足 $\Delta u\ge 0 \quad\text{于 }\Omega,$ 并在边界点 $x_0\in\partial\Omega$ 处取得最大值 $u(x_0)$，且 $u$ 非常数。 假设 $\Omega$ 在 $x_0$ 处满足内切球条件：存在 $S=B(0,r)\subset\Omega,\qquad x_0\in\partial S.$ 经平移旋转，不妨设 $x_0=(r,0,\dots,0)$。

取 $w(x)=|x|^{-a}-r^{-a},\quad a>0.$ 则 $w>0\ (|x|<r),\qquad w=0\ (|x|=r).$ 记 $\rho=|x|$，由径向函数公式 $\Delta w = a(a+2-n)\rho^{-a-2}.$ 取 $a>n-2$，则 $\Delta w>0\quad\text{于 }0<|x|<r.$ 此外，在 $x_0$ 处沿内法向 $\nu=-x_0/r$， $\frac{\partial w}{\partial\nu}(x_0) = -w'(r)=a r^{-a-1}>0.$

令 $\phi(x)=u(x)-u(x_0)+\varepsilon w(x),\quad \varepsilon>0.$ 则在 $S\setminus\{0\}$ 内 $\Delta\phi=\Delta u+\varepsilon\Delta w>0.$ 在边界 $\partial S$ 上， $\phi(x)=u(x)-u(x_0)\le 0,$ 且当 $x\ne x_0$ 时为严格不等。取 $\varepsilon$ 足够小，可保证 $\phi\le 0\quad\text{在 }\partial S.$ 由最大值原理得 $\phi\le 0\quad\text{于 }S,\qquad \phi(x_0)=0.$

由于 $x_0$ 是 $\phi$ 的最大点，对 $t>0$， $\frac{\phi(x_0+t\nu)-\phi(x_0)}{t}\le 0.$ 令 $t\to 0^+$ 得 $\frac{\partial\phi}{\partial\nu}(x_0)\le 0.$ 于是

因此， $\frac{\partial u}{\partial\nu}(x_0)<0,$ 边界点引理得证。