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泛函分析 / 度量空间 / 度量

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度量 #

definition

设 X\mathscr X 是一个非空集. 称 X\mathscr X 为度量空间, 当且仅当在 X\mathscr X 上定义了一个双变量的实值函数 ρ(x,y) X×X→R\rho(x,y)\ \mathscr X \times \mathscr X\to \mathbb{R}, 满足下列三个条件:

  • (1) 正定性: ρ(x,y)⩾0\rho(x,y)\geqslant 0, 且 ρ(x,y)=0\rho(x,y)=0, 当且仅当 x=yx=y;
  • (2) 对称性: ρ(x,y)=ρ(y,x)\rho(x,y)=\rho(y,x);
  • (3) 三角不等式: ρ(x,z)⩽ρ(x,y)+ρ(y,z) (∀x,y,z∈X)\rho(x,z)\leqslant\rho(x,y)+\rho(y,z)\ (\forall x,y,z\in\mathscr X).

并称 ρ\rho 为 X\mathscr X 上的一个距离 (度量), 记以 ρ\rho 为度量的度量空间为 (X,ρ)(\mathscr X,\rho).

info

∣ρ(x,z)−ρ(x,y)∣⩽ρ(y,z)|\rho(x,z)-\rho(x,y)|\leqslant\rho(y,z) 亦称为三角不等式.

abstract

所有度量在该度量下是连续的, 这个在欧式距离中很好理解, 但在任意度量中可能不是很好理解.

definition

(X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是一个度量空间. 若 M⊂XM\subset\mathscr X, 则称 (M,ρ)(M,\rho) 为 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 的子空间.

example

(Rn,ρp), ρp(x⃗,y⃗):=(∑i=1n∣xi−yi∣p)1/p, (1⩽p<∞)(\mathbb{R}^n,\rho_p),\ \rho_p(\vec x,\vec y) :=\left(\sum\limits_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{1/p},\ (1\leqslant p<\infty).

(Rn,ρ∞), ρ∞(x⃗,y⃗):=max⁡1⩽i⩽n∣xi−yi∣(\mathbb{R}^n,\rho_\infty),\ \rho_\infty(\vec x,\vec y):=\max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}|x_i-y_i|

info

上述定义中若 0<p<10<p<1 则不符合度量定义.

example

(C[a,b],ρ):ρ(f,g)=max⁡t∈[a,b]∣f(t)−g(t)∣(C[a,b],\rho): \rho(f,g)=\max\limits_{t\in[a,b]}|f(t)-g(t)|.

(C[a,b],ρp) p⩾1:ρp(f,g)=(\mint[a]b∣f(t)−g(t)∣pdt)1/p(C[a,b],\rho_p)\ p\geqslant 1: \rho_p(f,g)=\left(\mint[a]^b|f(t)-g(t)|^p\text{d} t\right)^{1/p}.

(C[a,b],ρ∞):ρ∞(f,g)=inf⁡E⊂[a,b],m(E)=0sup⁡t∈[a,b]\E∣x(t)−y(t)∣(C[a,b],\rho_\infty): \rho_\infty(f,g)=\inf\limits_{E\subset [a,b],m(E)=0}\sup\limits_{t\in[a,b]\backslash E}|x(t)-y(t)|.

example

S[a,b]S[a,b] 表示 [a,b][a,b] 上几乎处处取有限值的可测函数全体, (S[a,b],ρ),ρ(f,g):=\mint[a]b∣f(x)−g(x)∣1+∣f(x)−g(x)∣dx(S[a,b],\rho),\rho(f,g):=\mint[a]^b \dfrac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}\text{d} x

example

(Lp(Ω),ρp)(L_p(\Omega),\rho_p), ρp(f,g)=(∫Ω∣f(x)−g(x)∣pdx)1/p, 1⩽p<∞\rho_p(f,g)=\left(\int_{\Omega}|f(x)-g(x)|^p\text{d} x\right)^{1/p},\ 1\leqslant p<\infty.

当定义域离散时 (无穷数列 {xn}\{x_n\}) 记作 lpl_p. 即将积分用求和代替.

definition

度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 上的点列 {xn}\lbrace x_n \rbrace 收敛, 是指 ρ(xn,x0)→0(n→∞)\rho(x_n,x_0)\to 0 (n\to\infty), 记作 lim⁡n→∞xn=x0\lim\limits_{n\to\infty}x_n=x_0.

tip

设 {xn}\{x_n\} 是度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 中的点列. 如果 {xn}\{x_n\} 在 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 中收敛, 则其极限必唯一.

note

设 x,yx, y 是 {xn}\{x_n\} 的极限, 则由度量函数 ρ\rho 的性质可得

0≤ρ(x,y)≤ρ(x,xn)+ρ(xn,y)→0. 0 \leq \rho(x,y) \leq \rho(x,x_n) + \rho(x_n,y) \to 0.

因此, ρ(x,y)=0\rho(x,y) = 0, 从而 x=yx = y.

tip

设 {xn},{yn}\{x_n\}, \{y_n\} 在 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 中分别收敛于 x0,y0x_0, y_0, 则 ρ(xn,yn)→ρ(x0,y0)\rho(x_n, y_n) \to \rho(x_0, y_0).

note
∣ρ(xn,yn)−ρ(x0,y0)∣⩽∣ρ(xn,yn)−ρ(x0,yn)∣+∣ρ(x0,yn)−ρ(x0,y0)∣⩽ρ(xn,x0)+ρ(yn,y0)→0.\begin{align*} |\rho(x_n, y_n) - \rho(x_0, y_0)| &\leqslant |\rho(x_n, y_n) - \rho(x_0, y_n)| + |\rho(x_0, y_n) - \rho(x_0, y_0)| \\ &\leqslant \rho(x_n, x_0) + \rho(y_n, y_0) \to 0. \end{align*}

这个定理表明度量函数 ρ(x,y)\rho(x,y) 是度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 上的二元连续函数.

definition

设 (X,ρ1)(\mathscr X,\rho_1) 和 (X,ρ2)(\mathscr X,\rho_2) 是两个度量空间. 任取点列 {xn}n=1∞⊂X\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset X 和 x∈Xx\in X, 若

ρ1(xn,x)→0⇔ρ2(xn,x)→0\rho_1(x_n,x)\to 0\Leftrightarrow \rho_2(x_n,x)\to 0

则称 ρ1\rho_1 与 ρ2\rho_2 等价.

极限存在, 但收敛中取的 N/δN/\delta 不同.

definition

开球, 闭球, 内点, 内部, 开集, 闭集, 聚点, 导集, 闭包. 定义同数分, 将欧几里得距离换成度量.

tip

设 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是度量空间. 则 X\mathscr X 中的开集的全体满足如下性质:

  • 空集和全空间是开集.
  • 任意一族开集的并是开集.
  • 有限多个开集的交是开集.
example

(R,ρ)(\mathbb{R},\rho) 是度量空间, 其中 ρ={0, x=y1, x≠y\rho=\begin{cases} 0,\ x=y \\ 1,\ x\neq y \end{cases}

其中以 0 为心的单位开球为 B(0,1)={x∈R:∣x∣<1}={0}B(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:|x|<1\}=\{0\}.

以 0 为心的闭球为 B‾(0,1)={x∈R:∣x∣⩽1}=R\overline{B}(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:|x|\leqslant 1\}=\mathbb{R}

所以 B(0,1)‾={0}≠R\overline{B(0,1)}=\{0\}\neq\mathbb{R}.

info

上述例子中 B(0,1)B(0,1) 既是开集也是闭集. 更进一步的在上述度量定义中, 任意子集 A⊂RA\subset\mathbb{R} 均是既开又闭的集合.

tip

设 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 是度量空间, A⊂XA\subset \mathscr X.

  • 若 A 是闭集, 则 A 中任意收敛点列 {xn}\{x_n\}, 收敛在 A 中.
  • 若 A 中任意点列 {xn}\{x_n\} 在 X\mathscr{X} 中收敛, 若一定有收敛在 A 中, 则 A 是闭集.
note
definition

设 {xn}n=1∞\{x_n\}_{n=1}^\infty 是度量空间 (X,ρ)(\mathscr X,\rho) 中的点列. 若

ρ(xn,xm)→0(n,m→∞)\rho(x_n,x_m)\to 0 (n,m\to\infty)

则称 {xn}\{x_n\} 是 Cauchy 列.

abstract

\

  • 收敛列是 Cauchy 列.
  • 若 Cauchy 列有收敛的子列, 那么是收敛列.
  • 若只是 Cauchy 列, 则是有界序列. 但不一定收敛.
example

ρ(x,y)=∣x−y∣\rho(x,y)=|x-y|, 则 (Q,ρ)(\mathbb{Q},\rho) 中 (1+1n)n→e∉Q\left(1+\frac 1 n\right)^n\to e\notin\mathbb{Q}

definition

若度量空间中的所有 Cauchy 列都是收敛的, 那么称这个度量空间是完备的.

definition

集合的直径 diam(A)=sup⁡x,y∈Aρ(x,y)\text{diam}(A)=\sup\limits_{x,y\in A}\rho(x,y).

tip

度量空间完备当且仅当对任意单调下降的非空闭子集列 {An}\{A_n\} (A1⊃A2⊃⋯⊃An⋯A_1\supset A_2\supset\cdots\supset A_n \cdots) 只要 lim⁡n→∞diam(An)=0\lim\limits_{n\to\infty} \text{diam}(A_n)=0 就有 ⋂n⩾1An\bigcap\limits_{n\geqslant 1}A_n 是单点集.

question

题目 #

验证 (Rn,ρp),(1⩽p⩽∞)(\mathbb{R}^n,\rho_p), (1\leqslant p\leqslant \infty) 为度量空间, 并证明 lim⁡p→∞ρp=ρ∞\lim\limits_{p\to\infty}\rho_p=\rho_\infty.

题目 #

证明 (C[a,b],ρ∗)(C[a,b],\rho_*) 完备, 其中 ρ∗(f,g):=max⁡a⩽t⩽b∣f(t)−g(t)∣\rho_*(f,g):=\max\limits_{a\leqslant t\leqslant b}|f(t)-g(t)|.

题目 #

证明 (C[a,b],ρ1)(C[a,b],\rho_1) 不完备, 其中 ρ1(f,g):=∫ab∣f(t)−g(t)∣dt\rho_1(f,g):=\int_a^b |f(t)-g(t)|\text{d} t

题目 #

证明 (Lp(Ω),ρp)(L^p(\Omega),\rho_p) 是完备的.

题目 #

证明 diam(A)=diam(A‾)\text{diam} (A)=\text{diam}(\overline{A}).

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