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曲面积分

曲面的面积 #

definition

设 $\Omega$ 时 $\mathbb{R}^2$ 中的一个区域, $D\subseteq\Omega$ , 且 $D$ 是由分段光滑曲线所围成的有界闭区域. 若存在 $\Omega$ 上的映射

\begin{equation} \bm r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad (u,v)\in\Omega \end{equation}

满足

(1) $\bm r\in C^1(\Omega)$ .
(2) $\bm r$ 在 $D^\circ$ 上是双射, 并且对任意的 $(u,v)\in D^\circ$ 有 $\bm r_u\times r_v\neq\bm 0$ , 其中 $\times$ 为向量积且称 $\bm r(D)$ 为 $\mathbb{R}^3$ 中的一个光滑曲面.

若 $S\subseteq\mathbb{R}^3$ 由有限多个光滑曲面拼接而成, 则称之为分片光滑曲面.

definition

设 $\Omega,D,\bm r$ 如定义 \ref{光滑曲面} 中所给出, $S=\bm r(D)$ 是由方程 \eqref{光滑曲面参数方程} 定义的光滑曲面, 那么 $S$ 的面积为

\begin{equation} \iint\limits_{D} |\bm r_u\times \bm r_v|\text{d} u\text{d} v. \end{equation}

如果 $S$ 是由若干光滑曲面拼接而成, 且这些光滑曲面至多在边界处有公共点, 那么 $S$ 的面积就定义为 $S_i$ 的面积和.

tip

和曲线积分类似, 曲面的面积和参数方程的选取无关.

definition

为了方便我们将, $\dfrac{\partial x}{\partial u}$ 记作 $x_u$ . 同理有 $y_u,z_u,x_v,y_v,z_v$ .

我们设 \begin{equation}

\begin{cases} E = |\bm r_u|^2 = x_u^2+y_u^2+z_u^2 \\ F = \langle\bm r_u,\bm r_v\rangle=x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v \\ G = |\bm r_v|^2 = x_v^2+y_v^2+z_v^2 \end{cases}

\end{equation}

我们称 $E,F,G$ 为高斯 (Gauss) 系数或曲面的第一基本量.

此时, 式 \eqref{曲面面积公式} 就变为

\begin{equation} \iint\limits_{D}\sqrt{EG-F^2} \text{d} u\text{d} v. \end{equation}