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课程总纲 · 6 个单元 · 32 个知识点

实变函数

从集合与测度出发，学习可测函数、Lebesgue 积分、微分与 Lp 空间。

章节与知识点

按周民强《实变函数论》第三版六章、三十二节展开，连接已有笔记与作业选题。

  1. 第一章 集合与点集

    已有部分内容

    用集合运算表达极限，以基数和点集结构为测度理论准备语言。

    周民强《实变函数论》第3版，第1章 pp.1-63；各节起页：1.1 p.2，1.2 p.4，1.3 p.12，1.4 p.25，1.5 p.30，1.6 p.50。

    1. 1.1 集合与子集合

      从属于和包含关系出发，区分元素、集合与集合族。

    2. 1.2 集合的运算

      用并、交、补及集合列上下极限整理量词与极限事件。

    3. 1.3 映射与基数

      借助单射和双射比较集合大小，认识可数集与连续基数。

    4. 1.4 Rn 中点与点之间的距离·点集的极限点

      从邻域刻画极限点、孤立点和点集的聚集行为。

    5. 1.5 Rn 中的基本点集：闭集·开集·Borel 集·Cantor 集

      比较拓扑结构与可数集合运算，借 Cantor 集观察直觉的边界。

    6. 1.6 点集间的距离

      区分点到集合与集合之间的距离，关注距离为零的含义。

    • 笔记
      点集：二进方体与 Borel 集

      对应 §1.5；原页含开集分解、可数子覆盖、Fσ/Gδ 集和 σ-代数。

    • 教材习题
      习题1与注记

      第3版 p.53（习题1）、p.57（注记）。

  2. 第二章 Lebesgue 测度

    章节框架

    从矩体覆盖定义外测度，逐步建立可测集、正则性及不可测现象。

    周民强《实变函数论》第3版，第2章 pp.64-101；各节起页：2.1 p.65，2.2 p.71，2.3 p.79，2.4 p.84，2.5 p.87，2.6 p.89。

    1. 2.1 点集的 Lebesgue 外测度

      以可数矩体覆盖的体积下确界度量点集，理解次可加性。

    2. 2.2 可测集与测度

      用分割任意试验集的性质定义可测性，再讨论测度的可加性与连续性。

    3. 2.3 可测集与 Borel 集的关系

      通过开集、闭集和零测集的逼近关系理解测度正则性。

    4. 2.4 正测度集与矩体的关系

      在局部矩体中考察正测度集所占的比例。

    5. 2.5 不可测集

      从代表元构造认识可测性的限制及平移不变性的作用。

    6. 2.6 连续变换与可测集

      比较连续变换对 Borel 集、可测集与零测集的影响。

    • 教材习题
      习题2与注记

      第3版 p.94（习题2）、p.96（注记）。

  3. 第三章 可测函数

    章节框架

    把函数性质转化为原像集性质，区分几乎处处、依测度与近一致收敛。

    周民强《实变函数论》第3版，第3章 pp.102-130；各节起页：3.1 p.102，3.2 p.112，3.3 p.119。

    1. 3.1 可测函数的定义及其性质

      从水平集判断可测性，用简单函数逐步逼近一般可测函数。

    2. 3.2 可测函数列的收敛

      比较几种收敛方式，用 Egorov 与 Riesz 定理建立联系。

    3. 3.3 可测函数与连续函数的关系

      用 Lusin 定理理解删去小测度集合后可测函数的连续性。

    • 教材习题
      习题3与注记

      第3版 p.125（习题3）、p.127（注记）。

  4. 第四章 Lebesgue 积分

    已有部分内容

    先定义非负积分，再处理正负部分；以收敛定理控制极限和积分的交换。

    周民强《实变函数论》第3版，第4章 pp.131-200；各节起页：4.1 p.131，4.2 p.143，4.3 p.163，4.4 p.170，4.5 p.177。

    1. 4.1 非负可测函数的积分

      从简单函数建立积分，连接单调收敛、逐项积分与 Fatou 引理。

    2. 4.2 一般可测函数的积分

      通过正负部分定义可积性，用控制收敛与积分绝对连续性处理极限。

    3. 已有定理摘要：紧支连续函数的 L1 逼近与平移的平均连续性。

    4. 4.4 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系

      比较两种积分的适用范围，理解 Riemann 可积的测度判别。

    5. 4.5 重积分与累次积分的关系

      用 Tonelli 与 Fubini 定理判断何时可以按不同次序积分。

  5. 第五章 微分与不定积分

    已有部分内容

    从单调函数的可微性走向有界变差与绝对连续，明确微积分基本定理的条件。

    周民强《实变函数论》第3版，第5章 pp.201-247；各节起页：5.1 p.202，5.2 p.212，5.3 p.219，5.4 p.222，5.5 p.232，5.6 p.236。

    1. 已有定理摘要：单调函数几乎处处可微，以及递增函数级数的逐项微分。

    2. 5.2 有界变差函数

      用全变差衡量总振荡，通过 Jordan 分解联系单调函数。

    3. 5.3 不定积分的微分

      研究由可积函数构成的不定积分，理解几乎处处恢复被积函数。

    4. 5.4 绝对连续函数与微积分基本定理

      以绝对连续性连接函数增量与导数积分，区分它和普通连续性。

    5. 5.5 分部积分公式与积分中值公式

      在 Lebesgue 积分框架内重新核对分部积分和中值公式的条件。

    6. 5.6 R 上的积分换元公式

      通过单变量变换连接积分区间、导数和被积函数。

    • 教材习题
      习题5与注记

      第3版 p.241（习题5）、p.244（注记）。

    • 教材附录
      Rn 上不定积分的微分定理与积分换元公式

      第3版附录（I），pp.294-301。

  6. 第六章 Lp 空间

    章节框架

    把可积函数组织为赋范空间，从不等式与完备性走向内积、卷积和弱收敛。

    周民强《实变函数论》第3版，第6章 pp.248-293；各节起页：6.1 p.248，6.2 p.256，6.3 p.263，6.4 p.274，6.5 p.278，6.6 p.284（原书标星）。

    1. 6.1 Lp 空间的定义与不等式

      以几乎处处相等的函数为同一元素，学习 Hölder 与 Minkowski 不等式。

    2. 6.2 Lp 空间的结构

      认识范数收敛、完备性与可分性，比较不同收敛方式。

    3. 6.3 L2 内积空间

      用内积刻画正交与逼近，将函数展开视为几何问题。

    4. 6.4 Lp 空间的范数公式

      通过积分配对表达范数，为理解对偶关系作准备。

    5. 6.5 卷积

      研究平移与积分组合而成的新函数及其范数估计。

    6. 6.6 弱收敛

      用积分配对的收敛检验函数列，比较弱收敛与范数收敛。

    • 教材习题
      习题6与注记

      第3版 p.289（习题6）、p.291（注记）。

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