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一阶微分方程

tip

线性方程 #

[leftmargin=1.5cm]

• (1) 线性齐次方程: 形如 $y'+p(x)y=0$. 考虑积分因子 $e^{\int p(x)\t d x}$.

其解为 $y=Ce^{-\int p(x)\t d x}$.

• (2) 线性非齐次方程: 形如 $y'+p(x)y=g(x)$. 考虑如上积分因子.

其解为 $y=e^{-\int p(x)\t d x}(C+\int g(x)e^{\int p(x)\t d x} \t d x)$.

• (3) $\t{Bernoulli}$ 方程: 形如 $y'+p(x)y=g(x)y^{\alpha}$.

当 $a\neq 0,1$ 时, 两边同乘 $y^{-a}$ 得

$$y^{-a}y'+p(x)y^{1-a}=g(x)$$

引入新变量 $z=y^{1-a}$ 可得 $z'+(1-a)p(x)z=(1-a)g(x)$.

之后用线性方程求解即可.

变量可分离方程 #

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• (1) 变量可分离: 形如 $y'=f(x)g(y)$.

当 $g(y)\neq0$ 时, 可化为

$$\dfrac{\t d y}{g(y)}=f(x) \t d x$$

那么就可以对两边同时积分

$$\int\dfrac{\t d y}{g(y)}=\int f(x)\t d x + C.$$

注: 该方法当 $g(y)=0$ 时一般会存在特解.

• (2) 齐次方程: 形如 $\dfrac{\t d y}{\t d x}=F(\dfrac{y}{x})$.

引入新变量 $y=xz$, 则 $\frac{\t d y}{\t d x}=z+x\frac{\t d z}{\t d x}$.

可将方程变为

$$z+x\frac{\t d z}{\t d x}=F(z)$$

整理后即

$$\frac{\t d z}{\t d x}=\frac{F(z)-z}{x}.$$

这样就转化为了变量可分离方程.

• (3) 线性分式方程: 形如

$$\frac{\t d y}{\t d x}=\frac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}.$$

当

$$\det\left| \begin{aligned} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{aligned} \right|\neq 0$$

即 $\exists\ x_0,y_0,\ s.t. a_1x_0+b_1y_0+c_1=0 \wedge a_2x_0+b_2y_0+c_2=0$.

那么就可以做变量替换 $x=u+x_0,y=v+y_0$.

整理后可得

$$\frac{\t d v}{\t d u}=\frac{\t d y}{\t d x}=\frac{a_1u+b_1v}{a_2u+b_2v}$$

再上下同时除以 $u$, 就可以得到转化为齐次方程.

全微分方程 #

definition

设 $u=F(x,y)$ 是一个连续可微得二元函数, 则它的全微分为

$$\t d u=\t d F(x,y)=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}\t d x+\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}\t d y.$$

definition

若有函数 $F(x,y)$, 使得

$$\t d F(x,y)=M(x,y)\t d x+N(x,y)\t d y,$$

则称

$$M(x,y)\t d x+N(x,y)\t d y=0$$

为全微分方程, 此时解就为 $F(x,y)=C$.

tip

设函数 $M(x,y)$ 和 $N(x,y)$ 在一个矩形区域 $R$ 中连续且有连续得一阶偏导数, 则

$$M(x,y)\t d x+N(x,y)\t d y=0$$

为全微分方程得充要条件是

$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}.$$

当我们在 $R$ 中任取一点 $P(x_0,y_0)$ 就可以得到一个解

$$F(x,y)=\int_{x_0}^x M(s,y)\t d s + \int_{y_0}^y N(x_0,s)\t d s.$$

积分因子 #

definition

如果有函数 $\mu(x,y)$ 使得方程

$$\mu(x,y)M(x,y)\t d x+\mu(x,y)N(x,y)\t d y=0$$

是全微分方程, 则称 $\mu(x,y)$ 是积分因子.

tip

微分方程有一个仅依赖于 $x$ 的积分因子的充要条件是

$$\dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)}$$

仅与 $x$ 有关. 且积分因子 $\mu(x,y)=\exp\left(\mint \dfrac{\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}-\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}}{N(x,y)} \t d x\right)$.

同理, 有一个仅依赖于 $y$ 的积分因子的充要条件是

$$\dfrac{\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x}-\dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}}{M(x,y)}$$

仅与 $y$ 有关.

常见积分因子:

$$\begin{aligned} x\t d y - y\t d x+xy\t d x=0, & \dfrac{1}{xy} \\ &\\ x\t d y - y\t d x+x^2\t d y=0, & \dfrac{1}{x^2} \\ &\\ x\t d y - y\t d x+y^2\t d y=0, & \dfrac{1}{y^2} \\ &\\ x\t d y - y\t d x+(x^2+y^2)\t d y=0, & \dfrac{1}{x^2+y^2} \end{aligned}$$

变量替换法 #

[leftmargin=1.5cm]

• (1) 形如 $\dfrac{\t d y}{\t d x}=f(ax+by+c)$

引入变量 $z=ax+by+c$ 得到 $\dfrac{\t d z}{\t d x}=a+b\dfrac{\t d y}{\t d x}$.

可将方程化为

$$\frac{\t d z}{\t d x}=a+bf(z).$$

就变为了变量可分离方程, 其通解为

$$\int\frac{\t d z}{a+bf(z)}=x+C.$$

• (2) 形如 $yf(xy)\t d x+xg(xy)\t d y=0$

引入变量 $z=xy$, 则 $\t d y=\dfrac{x\t d z-z\t d x}{x^2}$

原方程可化为

$$\frac z x (f(z)-g(z))\t d x+g(z)\t d z=0.$$

这是个变量可分离方程.

• (3) $\t{Riccati}$ 方程. 形如

$$\frac{\t d y}{\t d x}=p(x)y^2+q(x)y+f(x).$$

一阶隐式微分方程 #

[leftmargin=1.5cm]

• (1) Clairaut 方程.