偏微分方程：第 3 次作业

2025-11-12 #

1.1 #

求函数 $f(x) = \begin{cases} 0 & (|x| > a) \\ |x| & (|x| \le a) \end{cases}$ 的傅里叶变换.

证明

本题函数偶对称, 故

\widehat f(k)=2\int_0^a x\cos(kx)\,dx =2\Big[\frac{x\sin(kx)}{k}\Big]_0^a-2\int_0^a\frac{\sin(kx)}{k}\,dx =\frac{2a\sin(ka)}{k}+\frac{2(\cos ka-1)}{k^2}.

1.3 #

求函数 $f(x) = \begin{cases} \sin\lambda_0x & (|x| \le a) \\ 0 & (|x|>a) \end{cases}$ 的傅里叶变换.

证明

直接积分:

\widehat f(k)=\int_{-a}^{a}\sin(\lambda_0x)e^{-ikx}\,dx =\frac{\sin((\lambda_0-k)a)}{\lambda_0-k} +\frac{\sin((\lambda_0+k)a)}{\lambda_0+k}.

1.5 #

求 $f(x)=\cos x\,e^{-a|x|}$ ( $a>0$ ) 的傅里叶变换.

证明

\mathcal F\{e^{-a|x|}\}(k)=\frac{2a}{a^2+k^2}.

写 $\cos x=\frac12(e^{ix}+e^{-ix})$ 得

\widehat f(k)=\frac12\big[\widehat{e^{-a|x|}}(k-1)+\widehat{e^{-a|x|}}(k+1)\big] =a\Big[\frac{1}{a^2+(k-1)^2}+\frac{1}{a^2+(k+1)^2}\Big].

2.2 #

利用性质求 $f(x)=x e^{-a|x|}$ ( $a>0$ ) 的傅里叶变换.

证明

已知

\mathcal F\{e^{-a|x|}\}(k)=\frac{2a}{a^2+k^2}.

乘 $x$ 对应频域 $i\partial_k$ ，故

\widehat f(k)=i\frac{d}{dk}\Big(\frac{2a}{a^2+k^2}\Big) =-\frac{4iak}{(a^2+k^2)^2}.

2.3 #

求 $f(x)=e^{i\mu x}$ 在 $|x|<a$ 时等于该指数，在外为 0 的傅里叶变换.

证明

\chi_{(-a,a)}(x)=\mathrm{rect}(x/2a), \qquad \mathcal F\{\mathrm{rect}(x/2a)\}(k)=2a\,\mathrm{sinc}(ak).

调制 $e^{i\mu x}$ 只造成频移

\widehat f(k)=2a\,\mathrm{sinc}(a(k-\mu)) =\frac{2\sin(a(k-\mu))}{k-\mu}.

2.5 #

求 $f(x)=e^{i\lambda_0 x}$ 在 $|x|<L$ 时为该指数，在外为 0.

证明

直接积分

\widehat f(k)=\int_{-L}^{L}e^{i(\lambda_0-k)x}\,dx =\frac{2\sin((\lambda_0-k)L)}{\lambda_0-k}.

2.7 #

求 $\dfrac{1}{a^2+x^2}$ ( $a>0$ ) 的傅里叶变换.

证明

已知对偶对

\mathcal F\{e^{-a|x|}\}(k)=\frac{2a}{a^2+k^2}, \qquad \mathcal F\Big\{\frac{2a}{a^2+x^2}\Big\}(k)=2\pi e^{-a|k|}.

故

\mathcal F\Big\{\frac{1}{a^2+x^2}\Big\}(k)=\frac{\pi}{a}e^{-a|k|}.

4.1 #

使用傅里叶变换求解初值问题:

\begin{cases} u_t-a^2u_{xx}-b\,u_x-c\,u=f(x,t), & -\infty<x<\infty,\ t>0,\\[2pt] u|_{t=0}=\varphi(x), & -\infty<x<\infty. \end{cases}

证明

取 $x$ 的傅里叶变换，记 $\widehat u(k,t)=\mathcal F\{u(\cdot,t)\}(k)$ 。由

\mathcal F\{u_x\}=ik\,\widehat u,\qquad \mathcal F\{u_{xx}\}=-k^2\,\widehat u

得常微分方程

\partial_t\widehat u+\big(a^2k^2-ibk-c\big)\widehat u=\widehat f(k,t), \qquad \widehat u(k,0)=\widehat\varphi(k).

积分因子 $e^{(a^2k^2-ibk-c)t}$ ，解为

\widehat u(k,t)=e^{-(a^2k^2-ibk-c)t}\,\widehat\varphi(k) +\int_0^t e^{-(a^2k^2-ibk-c)(t-s)}\,\widehat f(k,s)\,ds.

逆变换即得

u(x,t)=\mathcal F^{-1}\!\left\{e^{-(a^2k^2-ibk-c)t}\widehat\varphi(k)\right\} +\int_0^t \mathcal F^{-1}\!\left\{e^{-(a^2k^2-ibk-c)(t-s)}\widehat f(k,s)\right\}ds.

5.2 #

在 $\mathcal D'(-\infty,\infty)$ 中证明

\varphi(x)\delta'(x)=-\varphi'(0)\delta(x)+\varphi(0)\delta'(x),\qquad \varphi\in C^\infty(\mathbb R).

证明

对任意检验函数 $\psi$ ，

\langle \varphi\delta',\psi\rangle=\langle \delta',\varphi\psi\rangle =-(\varphi\psi)'(0)=-\varphi'(0)\psi(0)-\varphi(0)\psi'(0) =\langle -\varphi'(0)\delta+\varphi(0)\delta',\psi\rangle.

故结论成立。

6.1 #

计算 $(|x|)^{(m)}$ ，其中 $m\ge1$ .

证明

经典上 $(|x|)'=\operatorname{sgn}x$ ，而分布意义下

(|x|)''=2\delta,\qquad (|x|)^{(m)}=2\,\delta^{(m-2)}\ (m\ge2).

综上

(|x|)^{(m)}= \begin{cases} \operatorname{sgn}x,& m=1,\\[2pt] 2\,\delta^{(m-2)}(x),& m\ge2. \end{cases}

6.3 #

计算 $(H(x)e^{ax})''$ .

证明

利用 $H'=\delta$ ，

(H e^{ax})'=\delta+aH e^{ax},\qquad (H e^{ax})''=\delta'+a\delta+a^2 H e^{ax}.

7.1 #

求

f(x)=\begin{cases}\sin x,& x\ge0,\\ 0,& x<0\end{cases}

的广义导数 $f'_\bullet$ .

证明

写作 $f=H(x)\sin x$ ，则

f'_\bullet=\delta\sin0+H(x)\cos x=H(x)\cos x.

7.3 #

求

f(x)=\begin{cases}x^2,& |x|\le1,\\ 0,& |x|>1\end{cases}