循环群

定义

设 $G$ 是一个群, 如果 $G$ 的每一个元素都能写成 $G$ 的某个元素 $a$ 的整数次幂的形式, 那么称 $G$ 为循环群, 称 $a$ 是 $G$ 的一个生成元, 并记 $G=\langle a\rangle$ .

定义

对于群 $G$ 中元素 $a$ , 如果存在最小的正整数 $n$ , 使得 $a^n=e$ . 则称 $a$ 的阶为 $n$ , 记作 $|a|=n$ . 如果不存在这样的 $n$ , 则称 $a$ 是无限阶元素.

命题

有限群 $G$ 是循环群, 当且仅当 $\exists\ a\in G,\ s.t.\ |a| = |G|$ .

命题

设 $a\in G,\ |a|=n$ 则

a^m = e\Leftrightarrow n\mid m.

命题

设 $a\in G,\ |a|=n$ 则

|a^k|=\frac n {(n,k)}.

命题

若 $a,b\in G,\ ab=ba,\ |a|=n,|b|=m, (n,m)=1$ 则 $|ab|=nm$ .

命题

设 $G$ 是有限 Abel 群, 则 $\exists\ a\in G,\ s.t.\ \forall b \in G,|b|\big| |a|$ .

定理

设 $m$ 是大于 $1$ 的整数, 则 $\Z_m^*$ 为循环群当且仅当 $m$ 为下列情形之一:

2,\ 4,\ p^r,\ 2p^r,\quad \t{其中}\ p\ \t{是奇素数},\ r\in\mathbb{N}^*

定理

有限域 $F$ 的所有非零元组成的集合 $F^*$ 对于乘法构成群, 且是循环群.

定义

设 $G$ 与 $\widetilde G$ 是群。若映射 $\sigma:G\to\widetilde G$ 满足

\sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)\qquad(a,b\in G),

则称 $\sigma$ 为群同态。若 $\sigma$ 还是双射，则称它为群同构，并称 $G$ 与 $\widetilde G$ 同构。

命题

设 $\sigma$ 是 $G$ 到 $\widetilde{G}$ 的一个群同构映射, 则

定理

定理

设 $m_1,m_2$ 是大于 $1$ 的整数, 则 $(\Z_{m_1}\oplus\Z_{m_2},+)$ 是循环群当且仅当 $(m_1,m_2)=1$ .

练习

题目 #

证明: 若 $\Z_m^*$ 是循环群, 则 $\Z_m^*$ 的生成元个数等于 $\varphi(\varphi(m))$ .

证明

$|\Z_m^*|=\varphi(m)$ , 设 $a$ 是 $\Z_m^*$ 的生成元, 那么 $|a|=\varphi(m)$ . 对 $0\le k<\varphi(m)$ ，元素 $b=a^k$ 是生成元当且仅当

|a^k|=\varphi(m) \Longleftrightarrow \frac{\varphi(m)}{\gcd(\varphi(m),k)}=\varphi(m) \Longleftrightarrow \gcd(\varphi(m),k)=1.

这些不同指数恰好给出不同元素，因此生成元共有 $\varphi(\varphi(m))$ 个。

证明: 如果群 $G$ 的阶为偶数, 那么 $G$ 必有 $2$ 阶元.

证明

反设 $G$ 中没有 $2$ 阶元, 则对于 $G$ 中每个非单位元 $a$ 都有 $a\neq a^{-1}$ . 从而可以将 $G$ 的元素和对应的逆元两两配对, 也即除去单位元后元素个数为偶数, 所以总个数为奇数矛盾. 故 $G$ 中有 $2$ 阶元.