课程总纲 · 10 个单元 · 34 个知识点
抽象代数
以群、环、整环、域扩张与模为主线，学习代数结构及其相互关系。
章节与知识点
按丘维声《近世代数》的绪论与五章组织，配合相应的个人笔记。
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绪论：结构与基本方法
已有部分内容从等价类与模剩余类进入群、环、域的语言。
丘维声《近世代数》绪论 0.1-0.3。
- 0.1 近世代数学的创立
以代数结构的形成作为课程背景。
- 0.2 近世代数的重要性
辨认结构观点能够迁移的问题。
等价关系、商集、模剩余类与欧拉函数构成入门例子。
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群：循环群、置换与子群
已有部分内容按教材 1.1-1.5 认识群的例子、子群和直积，并保留已有的元素阶学习路径。
丘维声《近世代数》第一章 1.1-1.5。
群公理与子群判别；对应第一章 1.1、1.4 的基础概念。
由一个元素的整数次幂生成子群，并区分有限与无限情形。
用几何变换的复合提供具体群例。
从置换、轮换和奇偶性研究对称群。
用陪集和指数联系子群阶与群阶。
结合 1.1、1.4、1.5 讨论幂的阶、循环群计数与直积。
已有的四道自检，作为元素阶笔记的练习。
比较外直积与内部直积的构造。
- 应用ICPC Exponent：从群结构到算法
元素阶与循环群计数的算法应用。
- 笔记子群与 Lagrange 定理
第一章 1.4；保留原课程种子的文章入口。
- 笔记循环群
第一章 1.1 的旧版课程笔记。
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群同态与群的结构
已有部分内容由同态和商群进入可解群、单群与合成列。
丘维声《近世代数》第一章 1.6-1.7。
以保持运算的映射比较群，并联系核、像与商群。
核是正规子群，像是目标群的子群；属于 1.6。
检查陪集乘法与代表元选取无关；属于 1.6。
沿正规列区分可解性与简单性。
- 笔记群同态与同构定理：原课程笔记
第一章 1.6；继续阅读后续群同构定理。
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群作用与轨道
已有部分内容 -
Sylow 定理
已有部分内容 -
Abel 群与自由群
章节框架完成第一章的结构分类与可选的自由群主题。
丘维声《近世代数》第一章 1.10、*1.11。
- 1.10 有限 Abel 群和有限生成 Abel 群的结构
按循环群直和描述有限生成交换群。
- *1.11 自由群
由生成元及其形式逆元构造群。
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环的理想与域的构造
已有部分内容由环同态与理想进入商环、素理想和域的构造。
丘维声《近世代数》第二章 2.1-2.5。
理想是构造商环并表述同态基本定理的条件。
比较理想的和、积与环的直和。
借助商环区分整环条件与域条件。
讨论用多项式商环构造有限域和扩域。
从整环出发构造容纳其商的域。
- 笔记环的理想与域的构造
同一旧版笔记分节覆盖第二章 2.1-2.5。
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整环的整除性
已有部分内容比较整除、不可约与素性，再看不同分解性质的整环。
丘维声《近世代数》第三章 3.1-3.3。
在整环中区分元素的整除性质。
比较三类整环的条件与相互关系。
从理想的有限生成性观察升链条件。
- 笔记整环的整除性
同一旧版笔记分节覆盖第三章 3.1-3.3。
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域扩张与伽罗瓦理论
已有部分内容从扩张的性质通向分裂域、自同构群和伽罗瓦对应。
丘维声《近世代数》第四章 4.1-4.5。
以生成域、扩张次数和代数元建立基础。
- 4.2 分裂域、正规扩张与可分扩张
分别考察多项式根的容纳和扩张的两种性质。
- 4.3 域扩张的自同构群与伽罗瓦扩张
用固定基域的自同构研究扩张。
- 4.4 伽罗瓦理论
考察中间域与自同构群子群的对应。
- 4.5 本原元素、迹与范数
整理有限扩张中的生成元和两种数值不变量。
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模
已有部分内容