可测集与borel集

引理 Caratheodory

设 $G\neq\mathbb{R}^n$ 是开集, $E\subset G$ , 令

E_k=\{x\in E:d(x,G^c)\geqslant\frac 1 k\}\quad (k=1,2,\cdots),

则

\lim\limits_{k\to\infty} m^*(E_k)=m^*(E).

证明

由 $G$ 是开集, 所以 $\forall x\in G$ , 存在 $k$ , 使得 $x\in E_k$ , 于是 $E\subset\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k$ . 从而

E=\lim\limits_{k\to\infty} E_k=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k.

显然有 $\lim\limits_{k\to\infty}m^*(E_k)\leqslant m^*(E).$ 故我们只需证反向不等式, 不妨设 $\lim\limits_{k\to\infty} m^*(E_k)<+\infty$ . 令 $A_k=E_{k+1}\setminus E_k$ , 易知 $d(A_{2j},A_{2j+2})>0$ 且 $E_{2k}\supset\bigcup\limits_{j=1}^{k-1} A_{2j}$ , 可得

m^*(E_{2k})\geqslant m^*\left(\bigcup\limits_{j=1}^{k-1}A_{2j}\right)=\sum\limits_{j=1}^{k-1}m^*(A_{2j}).

于是有 $\sum\limits_{j=1}^\infty m^*(A_{2j})<+\infty.$ 同理有 $\sum\limits_{j=1}^{k-1}m^*(A_{2j-1})<+\infty$ .

于是

m^*(E)\leqslant \lim\limits_{k\to\infty} m^*(E_{2k})+\sum\limits_{j=k}^\infty m^*(A_{2j})+m^*(A_{2j+1})=\lim\limits_{k\to\infty}m^*(E_{k}).

定理

非空闭集 $F$ 是可测集.

证明

对任意集合 $T\subset\mathbb{R}^n$ .

由 $F^c$ 是开集, $T\setminus F\subset F^c$ , 由引理可设 $F_k=\{x\in T\setminus F: d(x,F)\geqslant\frac 1 k\}$ , 于是有 $\lim\limits_{k\to\infty}m^*(F_k)=m^*(T\setminus F)$ .

于是根据 $d(F_k,T\cap F)>0$ 有,

m^*(T)\geqslant m^*((T\cap F)\cup F_k)=m^*(T\cap F)+m^*(F_k),

再令 $k\to\infty$ ,

m^*(T)\geqslant m^*(T\cap F)+m^*(T\cap F^c).

于是由可测集定义知 $F$ 是可测集.

推论

Borel 集是可测集.

证明

由闭集可测知开集可测, 于是 Borel 集可测.

定理

若 $E\in\mathscr M$ , 则对任给的 $\varepsilon>0$ , 我们有

(i) 存在包含 $E$ 的开集 $G$ , 使得 $m(G\setminus E)<\varepsilon$ ;
(ii) 存在包含于 $E$ 的闭集 $F$ , 使得 $m(E\setminus F)<\varepsilon$ .

证明

\tr{注意对 $m(E)$ 是否有限作分类.} (i) 若 $m(E)<+\infty$ 则有外侧度定义, 存在 L-覆盖知存在这样的开集.

若 $m(E)=+\infty$ , 令 $E_k=E\cap B(0,k),\ E=\bigcup\limits_{k=1}^\infty E_k.$ , 由 $m(E_k)<+\infty$ , 故存在开集 $G_k$ 有 $E_k\subset G_k\wedge m(G_k\setminus E_k)<\dfrac{\varepsilon}{2^k}$ , 于是取 $G=\bigcup\limits_{k=1}^\infty G_k$ , 则 $G\supset E$ , 且 $G$ 是开集. 并且

m(G\setminus E)\leqslant m\left(\bigcup\limits_{k=1}^\infty m(G_k\setminus E_k)\right)\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty \frac \varepsilon {2^k}=\varepsilon.

(ii) 考虑对 $E^c$ 存在上述开集 $G$ , 取 $F=G^c$ , 则有 $m(E\setminus F)= m(G\setminus E^c)<\varepsilon$

定理

若 $E\in\mathscr M$ , 则

(i) $E=H\setminus Z_1$ , $H$ 是 $G_\delta$ 集, $m(Z_1)=0$ ;
(ii) $E=K\cup Z_2$ , $K$ 是 $F_\sigma$ 集, $m(Z_2)=0$ .

称 $H$ 是等测包, $K$ 是等测核.

证明

(i) 取开集列 $G_k$ , 满足 $m(G_k\setminus E)<\frac 1 k\wedge E\subset G_k$ , 则 $H=\bigcap\limits_{k=1}^\infty G_k$ 是 $G_\delta$ 集, 又 $m(H\setminus E)<\frac 1 k$ , 对任意 $k$ 成立, 故 $m(H\setminus E)=0$ , 则取 $Z_1=H\setminus E$ .

(ii) 取闭集列 $F_k$ 其余同理.

定理外侧度的正则性

若 $E\subset\mathbb{R}^n$ , 则存在包含 $E$ 的 $G_\delta$ 集 $H$ , 使得 $m(H)=m^*(E)$ . 我们称 $H$ 是 $E$ 的等测包.

证明

根据外侧度定义, 存在开集列 $\{G_k\}$ 满足 $m(G_k)\leqslant m^*(E)+\frac 1 k\wedge E\subset G_k$ , 则 $H=\bigcap\limits_{k=1}^\infty G_k$ 是 $G_\delta$ 集且 $H\subset E$ . 又有

m^*(E)\leqslant m(H)\leqslant m(G_k)\leqslant m^*(E)+\frac 1k,

所以 $m(H)=m^*(E)$ .

注

$m^*(H\setminus E)$ 不一定等于零, 但 $H\setminus E$ 的任一可测子集均是零测集.

推论

设 $E_k\subset \mathbb{R}^n\ (k=1,2,\ldots)$ , 则

m^*\left(\varliminf\limits_{k\to\infty} E_k\right)\leqslant\varliminf\limits_{k\to\infty}m^*(E_k).

证明

对每个 $E_k$ 取等测包 $H_k$ , 则有

m^*(\varliminf\limits_{k\to\infty}E_k)=m(\varliminf\limits_{k\to\infty}H_k)\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty} m(H_k)=\varliminf\limits_{k\to\infty}m^*(E_k).

推论

若 $\{E_k\}$ 是递增集合列, 则

\lim\limits_{k\to\infty}m^*(E_k)=m^*(\lim\limits_{k\to\infty}E_k).

证明

证明同上题, 因为递增可以得到极限存在, 我们考虑上极限对应的反向不等式即可.

定理

若 $E\in\mathscr{M},\ x_0\in\mathbb{R}^n$ , 则 $(E+\{x_0\})\in\mathscr{M}$ 且

m(E+\{x_0\})=m(E).

可测集与borel集

可测集与 Borel 集 #

评论