n元对称群

对于非空集合 $\Omega$, 设 $S_\Omega$ 是全部 $\Omega$ 到自身的双射构成的集合, 容易验证 $S_\Omega$ 是一个群, 我们称之为全变换群(full transformationm group).

特别的, 当 $\Omega$ 是有限集合时, 称 $\Omega$ 到自身的双射为 $\Omega$ 上的一个置换 (permutation). 当 $|\Omega|=n$ 时, 称 $\Omega$ 上的置换为 $n$ 元置换, 并称 $S_\Omega$ 为 $n$ 元对称群, 记作 $S_n$.

如果一个 $n$ 元置换 $\sigma$ 把 $i_1$ 映成 $i_2$, 把 $i_2$ 映成 $i_3$,$\cdots$, 把 $i_{r}$ 映成 $i_1$, 并且保持其余元素不变, 那么称 $\sigma$ 为 $r-$轮换, 简称为轮换, 记作 $(i_1i_2i_3\cdots i_{r-1}i_r)$.

特别地, 当 $r=2$ 时, 也称为对换. 恒等映射 $I$ 记作 $(1)$.

如果两个轮换之间没有公共元素, 则称它们\mydef[轮换不相交]{不相交}.

基于上述命题, 我们将可以由偶数个对换表示的置换称为偶置换, 由奇数个对换表示的置换称为奇置换.

同时, 按照定义偶置换和偶置换的乘积还是偶置换, 所以所有偶置换对乘法封闭是 $S_n$ 的子群, 称为 \mydef[n元交错群]{$n$ 元交错群}, 记作 $A_n$. 且有 $|A_n|=\dfrac 1 2 |S_n|=\dfrac{n!} 2$.

设 $S$ 的群 $G$ 的一个非空子集, 如果 $G$ 中每一个元素都能表示成 $S$ 中有限多个元素的整数次幂的乘积, 那么称 \mydef[群的生成元集]{$S$ 是群 $G$ 的生成元集}, 或者说**$S$ 的所有元素生成 $G$**.

特别的, 如果 $G$ 的一个生成元集是有限集, 那么称 $G$ 是有限生成的群, 记作 $G=\langle a_1,a_2,\ldots,a_t\rangle$.