泛函分析-徐小绪：2025 / 251222

ppt Riesz-Fredholm 理论 (iii) 过长不考证明.

不变子空间不考

根据共轭算子性质 $A^{**}=A$, 从而 $(AA^*)^*=A^{**}A^*=AA^*$, $(A^*A)^*=A^*A^{**}=A^*A$.

$(A^*+A)^*=A+A^*=A^*+A$.

由自伴算子的范数可用二次型刻画

同理可证 $\Vert A^*A \Vert=\Vert A \Vert^2$.

定义新内积 $(x,y)_A=(Ax,y)$.

有题设条件满足正定性 $(x,x)_A\geqslant A$, 且 $(x,x)_A=0\Leftrightarrow x=0$.

且根据 $(Ax,x)\geqslant 0$, 从而 $(Ax,x)\in\mathbb{R}$, 故 $A$ 是自伴算子.

从而满足共轭对称性 $(x,y)_A=(Ax,y)=(x,Ay)=\overline{(Ay,x)}=\overline{(y,x)_A}$.

线性性: $(\alpha x_1+\beta x_2,y)_A=(A(\alpha x_1+\beta x_2),y)=\alpha (Ax_1,y)+\beta(Ax_2,y)=\alpha(x_1,y)_A+\beta(x_2,y)_A$.

所以 $(x,y)_A$ 是一个内积.

那么使用 Cauchy-Schwarz 不等式可得

我们取 $y=Ax$ 则有

整理即得

• ((1)) 首先当 $A$ 自伴时, 其谱点均是实数. 设 $\lambda>M(A)$, $T_\lambda=\lambda I-A$. 共轭双线性型 $a(x,y)=(T_\lambda x,y)$. 首先由 $T_\lambda$ 有界及 Cauchy-Schwarz 不等式, 存在 $M>0$ , $|a(x,y)|<M\Vert x \Vert\Vert y \Vert$. 其次 $(T_\lambda x,x)=\lambda\Vert x \Vert^2-(Ax,x)\geqslant (\lambda-M)\Vert x \Vert^2$. 从而根据 Lax-Milgram 定理, $T_\lambda$ 是唯一的有界线性算子使得 $a(x,y)=(T_\lambda x,y)$ 且 $\norm{T_\lambda^{-1}}\leqslant \frac{1}{\lambda-M}$. 所以 $\lambda\in\rho(T)$. 同理当 $\lambda<m(A)$ 时, 取 $T_\lambda=A-\lambda I$. 即可得到 $\lambda\in \rho (T)$. 所以 $\sigma(A)\subset[m(A),M(A)]$. 下证 $M(A)\in \sigma(A)$. 还是考虑 $T_{m(A)}=A-m(A)I$, 有 $(T_{m(A)}x,x)=(Ax,x)-(m(A)x,x)\geqslant 0$. 从而对于 $T_{m(A)}$ 有其谱点均为非负实数. 那么根据自伴算子的谱半径等于其算子范数, 故 $r_\sigma(T)=\norm{T_{m(A)}}=\sup\limits_{\Vert x \Vert=1}|(T_{m(A)}x,x)|$ 所以 $\sup\limits_{\lambda\in\sigma(T_{m(A)})}|\lambda|=M(A)-m(A)$ 再根据有界线性算子的谱集是紧集, 所以 $M(A)-m(A)\in\sigma(T_{m(A)})$, 而 $T_{m(A)}$ 和 $A$ 的谱点只做平移变换, 故 $M(A)\in \sigma(A)$. 同理考虑 $T_{M(A)}=M(A)I-A$, 即可证明 $m(A)\in \sigma(A)$.
• [(2)] 由 Riesz-Schauder 理论 $\sigma(A)\setminus\lbrace 0\rbrace =\sigma_p(A)\setminus\lbrace 0\rbrace$. 由上一问 $m(A),M(A)\in\sigma(A)$, 所以当 $m(A)\neq0,M(A)\neq0$ 时有 $m(A)\in\sigma_p(A),M(A)\in\sigma_p(A)$.