泛函分析（徐小绪）作业：2025-12-01

考虑数学归纳法.

$n=1$ 时显然成立.

设 $n=k-1$ 时成立, 当 $n=k$ 时.

设 $c_1x_1+\cdots+c_kx_k=0$. 考虑 $(\lambda_k I-A)$ 作用在 $\sum c_ix_i$ 上, 由 $(\lambda_k I-A)x_k=0$

从而 $(\lambda_kI-A)(\sum\limits_{i=1}^{k}c_ix_i)=(\lambda_kI-A)(\sum\limits_{i=1}^{k-1}c_ix_i)=(\lambda_kI-A)(0)=0$

根据归纳假设 $x_1,\ldots,x_{k-1}$ 线性无关, 从而 $c_1=c_2=\cdots=c_{k-1}=0$, 故 $c_kx_k=0$ 则有 $c_k=0$.

综上 $x_1,\ldots,x_k$ 线性无关.

设 $N=\ker K$，令商映射 $q:X\to X/N$。定义

则 $\widetilde K$ 良定义、连续、紧且单射，并且 $R(\widetilde K)=R(K)$。

由 $R(A)\subset R(K)=R(\widetilde K)$，对每个 $x\in X$，存在唯一的 $u\in X/N$ 使得

于是可定义线性算子

下面证 $B$ 有界：取 $x_n\to x$ 且 $Bx_n\to u$。则

另一方面 $Ax_n\to Ax$，故 $Ax=\widetilde K(u)$。由定义 $Bx$ 是满足 $\widetilde K(Bx)=Ax$ 的唯一元素，所以 $u=Bx$。因此 $B$ 图像闭，$X, X/N$ 都是 Banach 空间，闭图定理推出 $B$ 有界。

最后

由于 $\widetilde K$ 紧、$B$ 有界，故 $A$ 为紧算子。

根据紧算子的性质, 由 $y_n\xrightarrow{w}y_0$ 得到 $Ay_n\to Ay_0$. 那么考虑 $(x_n, Ay_n)=(x_n,Ay_0)+(x_n,Ay_n-Ay_0)$.

由 $x_n\xrightarrow{w}x_0$ 知 $\Vert x_n \Vert$ 有界. 所以由 Cauchy-Schwarz 不等式 $|(x_n,Ay_n-Ay_0)|\leqslant\Vert x_n \Vert\Vert Ay_n-Ay_0 \Vert\to 0$.

下证 $(x_n,Ay_0)\to (x_0,Ay_0)$.

由 Riesz 表示定理, 存在唯一的泛函 $f$ 满足 $f(x)=(x,Ay_0)$, 故等价于证明 $f(x_n)\to f(x_0)$ 由 $x_n$ 弱收敛立即得到.

综上 $(x_n,Ay_n)\to (x_0,Ay_0)$.

$R(A)$ 在 $Y$ 中是闭的, 从而 $R(A)$ 也是 $B$ 空间.

考虑到商空间上的映射 $\widetilde{A}:X/\text{Ker} A\to R(A)$.

由于 $X$ 是 $B$ 空间, $A$ 有界, 从而 $\text{Ker} A$ 是闭子空间, 故 $X/\text{Ker} A$ 是 $B$ 空间.

于是 $\widetilde{A}$ 是双射.

再根据 Banach 逆映射定理得到 $A^{-1}$ 也是有界的.

反设 $A$ 是紧算子. 那么对于 $\widetilde{A}$ 及 $X/\text{Ker} A$ 中的任意有界集, 取其中每个元素的代表元满足 $\Vert x \Vert\leqslant\Vert [x] \Vert+1$, 就构成了 $X$ 中的一个有界集记作 $X_0$, 又 $A(x)=\widetilde{A}([x])$, 从而 $A(X_0)=\widetilde{A}([X_0])$. 再根据 $A$ 的紧性, $\widetilde{A}([X_0])$ 是列紧的, 从而 $\widetilde{A}$ 也是紧算子.

但根据紧算子的性质, 如果 $X,Y$ 中有一个是无穷维的, 那么就不存在有界逆, 这与 $A^{-1}$ 有界矛盾.

从而 $A$ 不是紧算子.

考虑 $T_N:\lbrace \xi_n\rbrace \mapsto\lbrace w_n\xi_n\rbrace _{n=1}^N\cup\lbrace 0\rbrace _{n=N+1}^\infty\quad (\forall\lbrace \xi_n\rbrace \in l^p)$.

显然 $T_N$ 是有穷秩算子, 从而 $T_N$ 是紧算子.

又 $\Vert T\xi-T_N\xi \Vert_{l^p}\leqslant\sup\limits_{n\geqslant N}|\omega_n|\cdot\Vert \xi \Vert_{l^p}$

即 $\Vert T-T_n \Vert\leqslant\sup\limits_{n\geqslant N}|\omega_n|\to$ $(N\to\infty)$.

又由 $Y$ 是 Banach 空间, 故 $\overline{F(X,Y)}\subset \mathfrak C(X,Y)$, 从而 $T\in C(l^p)$ 是紧算子.