AA定理

定义

设 $(M,\rho)$ 为度量空间, 若 $M$ 是紧集, 则称该度量空间为紧的.

定义

设 $(M,\rho)$ 是紧的度量空间, 定义 $C(M)$ 为 $M\to\mathbb{R}$ 的连续映射全体, 即 $f$ 在 $M$ 上连续:

\forall x_0\in M,\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0,\text{ 只要 } \rho(x,x_0)<\delta\text{ 就有 } |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon

定义 $d: C(M)\times C(M)\to\mathbb{R}$ 为

d(f,g):=\max\limits_{x\in M}|f(x)-g(x)|,\quad \forall f,g\in C(M).

$(C(M),d)$ 是一个完备的度量空间.

例

$(C(M),d), d(f,g):=\max\limits_{0\leqslant t\leqslant 1}|f(t)-g(t)|$ . 是完备的.

定义一致有界, 等度连续

设 $F\subset C(M)$ .

若 $\exists M_1>0$ 使 $|\varphi(x)|\leqslant M_1(\forall x\in M,\forall \varphi\in F)$ , 则称 $F$ 一致有界.

若 $\forall \varepsilon>0,\exists \delta>0$ 使得只要 $\rho(x_1,x_2)<\delta$ 就有 $|\varphi(x_1)-\varphi(x_2)|<\varepsilon(\forall \varphi\in F)$ , 则称 $F$ 等度连续.

注

一致有界是对任意函数的一致.
等度连续>一致连续>连续.

定理 Arzela-Ascoli

设 $F\subset C(M)$ , 则 $F$ 是列紧集 $\Leftrightarrow$ $F$ 一致有界且等度连续.

证明

" $\Leftarrow$ ": $|\varphi(x)-\varphi_j(x)|\leqslant\underbrace{|\varphi(x)-\varphi(x_\kappa)|}_{\text{等度连续}}+\underbrace{|\varphi(x_\kappa)-\varphi_j(x_\kappa)|}_{\text{一致有界}}+\underbrace{|\varphi_j(x_\kappa)-\varphi_j(x)|}_{\text{等度连续}}\leqslant 3\varepsilon$

注

该定理只能用于连续函数空间证明列紧.

练习

题目 #

设 $(M,\rho)$ 是紧度量空间. $f\in C(M)$ . 证明 $f$ 在 $M$ 上一致连续.

题目 #

证明 $(C(M),d)$ 是一个完备的度量空间.

题目 #

$(l^p,\rho_p)$ ( $1\leqslant p<\infty$ ).

l^p:=\left\{\{x_n\}_{n=1}^{\infty}:\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p<\infty\right\}.

\rho_p(\{x_n\},\{y_n\}):=\left(\sum_{n=1}^{\infty}|x_n-y_n|^p\right)^{1/p}.

题目 #

令 $W_0^{1,2}[0,1]$ 是

C_0^1[0,1]:=\lbrace f\in C^1[0,1]:f(0)=f(1)=1\rbrace

在

\rho(f,g):=\left(\int_0^1 |f(x)-g(x)|^2+|f'(x)-g'(x)|^2\text{d} x\right)^{1/2}

度量下的完备化空间.

证明:

((1)) $A:=\lbrace f\in W_0^{1,2}[0,1]:\rho(f,\mathbf{0})\leqslant 1\rbrace$ 是 $C[0,1]$ 中的列紧集.
((2)) $A$ 是 $L^2[0,1]$ 中的列紧集 (Rellich 紧嵌入定理).

Arzela-Ascoli 定理 #

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