泛函分析：赋范空间 / 线性空间

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线性空间、准范数和范数 #

拓扑结构: 有收敛 (开集) 的定义.

代数结构: 有代数运算的定义.

加法和数乘关于拓扑连续, 则构成拓扑向量空间.
加法和数乘关于度量连续, 则构成线性度量空间.
加法和数乘关于范数连续, 则构成线性赋范空间.

definition

设 $\mathscr X$ 是线性空间, $\Vert\cdot\Vert$ 是 $\mathscr X$ 到 $\mathbb{R}$ 的非负实值函数, 满足

(正定性) $\Vert x\Vert\geqslant 0$ 且 $\Vert x\Vert =0\Leftrightarrow x=0$ .
(齐次性) $\Vert\alpha x\Vert=|\alpha|\Vert x \Vert\ (\forall \alpha\in \mathbb K,x\in \mathscr X)$ .
(三角不等式) $\Vert x+y\Vert\leqslant \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

则称 $\norm\cdot$ 是 $\mathscr X$ 上的范数, 称 $\mathscr X$ 是线性赋范空间, 记作 $B^*$ 空间.

info

赋范空间一定是度量空间. 记 $\rho(x,y)=\Vert x-y \Vert$ 称为范数诱导的度量.

info

若不满足正定性, 只满足齐次性和三角不等式则成为半范数.

definition

若 $\{x_n\}\subset\mathscr X, x\in\mathscr X$ 满足 $\Vert x_n-x \Vert\to 0$ , 称 $\{x_n\}$ 依范数收敛到 $x$ .

definition

设 $\{x_n\}\subset\mathscr X$ . 若 $\Vert x_n-x_m \Vert\to 0$ , 则称为赋范空间中的柯西列.

definition

完备的 $B^*$ 空间称为 Banach 空间, 记作 $B$ 空间.

example

$L^p[a,b] \ (1 \leq p < \infty)$ 是 $B$ 空间, 其中

\|u\| := \left( \int_a^b |u(x)|^p \, dx \right)^{1/p}.

example

$L^\infty[a,b]$ 是 $B$ 空间, 其中

\|u\| := \inf_{\substack{m(E_0)=0 \\ E_0 \subset [a,b]}} \left( \sup_{x \in [a,b] \setminus E_0} |u(x)| \right).

example

$C[a,b]$ 是 $B$ 空间, 其中

\|f\| := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|.

example

$C^k[a,b]$ 是 $B$ 空间, 其中

\|f\| := \max_{n \leqslant k} \max_{t \in [a,b]} |f^{(n)}(t)|.

这里 $f^{(n)}$ 表示对 $f$ 求 $n$ 次导数.

example

能在 $C^\infty[a,b]$ 上定义一个范数使之成为 $B$ 空间吗?

definition

tip

设 $(\mathscr X,\norm\cdot)$ 是一个 $B^*$ 空间, 则 $\mathscr X$ 完备等价于 $\mathscr X$ 中绝对收敛的级数必收敛.

definition

设 $(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert_1)$ 和 $(\mathscr X,\Vert \cdot \Vert_2)$ 均为赋范空间.

若对任意满足 $\Vert x_n \Vert_2\to 0$ 的点列 $\{x_n\}$ 都有 $\Vert x_n \Vert_1\to 0$ . 则称 $\norm\cdot_2$ 比 $\norm\cdot_1$ 强.

若互相比对方强, 则称二者等价.

tip

$\norm\cdot_2$ 比 $\norm\cdot_1$ 强等价于 $\exists C>0$ 使 $\Vert x \Vert_1\leqslant C\Vert x \Vert_2$ .

example

$C[a,b]$ 上, 若 $1 \leq p_1 < p_2 \leq \infty$ , 则 $\|\cdot\|_{p_2}$ 比 $\|\cdot\|_{p_1}$ 强.

note

$p_2 = \infty$ 时, 易知

\|f\|_{p_1} \leq (b-a)^{1/p_1} \|f\|_{\infty},

\int_a^b |f|^{p_1} dx \leq (b-a)\|f\|_{\infty}^{p_1}.

$p_2 < \infty$ 时, 取 $r = \tfrac{p_2}{p_1}, \ \tfrac{1}{r} + \tfrac{1}{r'} = 1$ , 利用 Hölder 不等式可得

\int_a^b \big(|f|^{p_1}\cdot 1\big)\, dx \leq \left\{ \int_a^b \big(|f|^{p_1}\big)^r dx \right\}^{1/r} \left\{ \int_a^b 1^{r'} dx \right\}^{1/r'} \leq C \left\{ \int_a^b |f|^{p_2} dx \right\}^{p_1/p_2}.

此即

\|f\|_{p_1} \leq C^{1/p_1} \|f\|_{p_2}.

question

题目 #

$L^p$ 空间函数依范数收敛.

若 $\Vert f_n-f \Vert_p\to 0$ , 则存在子列 $\{f_k\}$ 几乎处处收敛于 $f$ .
若 $f_n$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处收敛于 $f$ , 且 $\Vert f_n \Vert_p\to\Vert f \Vert_p$ , 则 $\Vert f_n-f \Vert_p\to 0$ .

题目 #

$C_0^1[0,1]$ 表示 $[0,1]$ 上在 0 和 1 处取值为零的一阶连续可微函数全体.

\|f\|_1 := \left( \int_0^1 |f|^2 + |f'|^2 dx \right)^{1/2}, \quad \|f\|_2 := \left( \int_0^1 |f'|^2 dx \right)^{1/2}.

证明: $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in C_0^1[0,1])$ . {{< admonition note “证明” false >}}

题目 #

若 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是一单连通有界开集.

$C_0^1(\overline{\Omega})$ 表示 $\Omega$ 上在边界 $\partial \Omega$ 取值为零的一阶连续可微函数全体.

\|f\|_1 := \left( \int_\Omega |f|^2 + |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}, \quad \|f\|_2 := \left( \int_\Omega |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}.

证明: $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in C_0^1(\overline{\Omega}))$ . {{< admonition note “证明” false >}}

题目 #

若 $\Omega \subset \mathbb{R}^2$ 是一单连通有界开集, 且有光滑边界.

$\widetilde{C}_0^1(\overline{\Omega})$ 表示 $\Omega$ 上在边界 $\partial \Omega$ 的一个非空开子集 $\Gamma$ 上取值为零的一阶连续可微函数全体.

\|f\|_1 := \left( \int_\Omega |f|^2 + |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}, \quad \|f\|_2 := \left( \int_\Omega |\nabla f|^2 dx \right)^{1/2}.

证明: $\exists C_1, C_2 > 0$ 使 $C_1 \|f\|_1 \leq \|f\|_2 \leq C_2 \|f\|_1 \quad (\forall f \in \widetilde{C}_0^1(\overline{\Omega}))$ .

note

线性空间、准范数和范数 #

题目 #

题目 #

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