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介绍环上的左模与右模、子模、商模、模同态及同态基本定理，并整理自由模、基和秩。

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环上的模, 子模, 商模, 模同态 #

定义

设 MM 是一个 \Abel 加法群, RR 是幺环. 如果 R×MR\times M 到 MM 有一个映射: (r,a)↦ra(r,a)\mapsto ra, 并且满足下列 44 条法则： ∀a1,a2,a∈M,r,r1,r2∈R\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R, 有

  • (1) r(a1+a2)=ra1+ra2r(a_1+a_2)=ra_1+ra_2.
  • (2) (r1+r2)a=r1a+r2a(r_1+r_2)a=r_1a+r_2a.
  • (3) (r1r2)a=r1(r2a)(r_1r_2)a=r_1(r_2a).
  • (4) 1a=a1a=a.

那么称 MM 是环 RR 上的一个左模或一个左 RR-模.

特别的, 幺环 RR 中的加法群 (R,+)(R,+) 是 RR 的一个左模, 称它为 RR 的左正则模或左正则 RR-模.

同样, 我们可以类似地定义右模.

定义

设 MM 是一个 \Abel 加法群, RR 是幺环. 如果 R×MR\times M 到 MM 有一个映射: (r,a)↦ra(r,a)\mapsto ra, 并且满足下列 44 条法则： ∀a1,a2,a∈M,r,r1,r2∈R\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R, 有

  • (1) (a1+a2)r=a1r+a2r(a_1+a_2)r=a_1r+a_2r.
  • (2) a(r1+r2)=ar1+ar2a(r_1+r_2)=ar_1+ar_2.
  • (3) a(r1r2)=(ar1)r2a(r_1r_2)=(ar_1)r_2.
  • (4) a1=aa1=a.

那么称 MM 是环 RR 上的一个右模或一个右 RR-模.

特别的, 幺环 RR 中的加法群 (R,+)(R,+) 是 RR 的一个右模, 称它为 RR 的右正则模或右正则 RR-模.

定义

设 RR 是交换幺环, MM 是 RR 的左模, 令

ar:=ra,∀a∈M,r∈R.ar:=ra,\quad\forall a\in M,r\in R.

则 MM 也是右模, 此时称 MM 是 RR-模.

命题

设 MM 是幺环 RR 的左模, 则 ∀r,r1,…,rm∈R,a1,a2,…,an∈M\forall r,r_1,\ldots,r_m\in R,a_1,a_2,\ldots,a_n\in M, 有

  • (1) r0=0r0=0.
  • (2) r(−a)=−rar(-a)=-ra.
  • (3) 0a=00a=0.
  • (4) (−r)a=−ra(-r)a=-ra.
  • (5) r∑i=1nai=∑i=1nrair\sum\limits_{i=1}^na_i=\sum\limits_{i=1}^n ra_i.
  • (6) (∑i=1mri)a=∑i=1mria(\sum\limits_{i=1}^m r_i)a=\sum\limits_{i=1}^m r_ia.
定义

设 MM 是幺环 RR 的左模, HH 是 MM 的非空子集. 如果 H<MH<M, 并且对任意的 r∈R,h∈Hr\in R,h\in H, 都有 rh∈Hrh\in H. 那么称 HH 是 MM 的子模.

特别的, 我们称 {0}\{0\} 和 MM 是 MM 的平凡子模.

注

下面的研究均针对左模, 对于右模的结论可类似得到.

因而下述商模等定义可看作左商模等.

定义

设 {Hi}\{H_i\} 是 MM 的子模, 规定

H1+H2+⋯+Ht:={h1+h2+⋯+ht∣hi∈Hi}.H_1+H_2+\cdots+H_t:=\{h_1+h_2+\cdots+h_t|h_i\in H_i\}.

容易验证这是 MM 的一个子模, 称为子模的和.

如果 H1+H2+⋯+HtH_1+H_2+\cdots+H_t 中每个元素的表示方式均唯一, 那么称之为\mydef[模的内直和]{内直和}.

定义

设 MM 和 M~\widetilde{M} 是 RR 的两个左模, 如果存在一个群同态 η\eta, 并且 η\eta 和环 RR 的作用可交换, 即

η(rx)=r[η(x)],∀r∈R,x∈M.\eta(rx)=r[\eta(x)],\quad \forall r\in R,x\in M.

那么称 η\eta 为模同态, 如果 η\eta 是群同构, 则称为模同构.

定义

类似群和环中的定义, 我们可以定义模对其子模的商模.

类似的, 我们也有下述定理.

定理 模同态基本定理

设 MM 和 M~\widetilde{M} 都是左 RR-模, 若 η\eta 是模同态, 则 Ker⁡η\Ker\eta 是 MM 的一个子模, Im⁡\tIm 是 M~\widetilde{M} 的一个子模, 且有

M/Ker⁡η≅Im⁡η.M/\Ker\eta\cong\tIm\eta.

自由模 #

定义

设 RR 是幺环, MM 是左 RR-模. 如果 MM 有一个子集 SS, 满足

  • (1) MM 中每个元素 xx 能表示成 SS 中有限多个元素的 RR-线性组合:
x=r1αi1+r2αi2+⋯+rmαim,x=r_1\alpha_{i_1}+r_2\alpha_{i_2}+\cdots+r_m\alpha_{i_m},

其中 {αi1,αi2,…,αim}⊆S, r1,r2,…,rm∈R,m∈N∗\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_m}\}\subseteq S,\ r_1,r_2,\ldots,r_m\in R,m\in \mathbb{N}^*.

  • (2) SS 的任一有限子集 S1={αj1,αj2,…,αjt}S_1=\{\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\ldots,\alpha_{j_t}\} 是 RR-线性无关的, 即从 r1αj1+r2αj2+⋯+rtαjt=0r_1\alpha_{j_1}+r_2\alpha_{j_2}+\cdots+r_t\alpha_{j_t}=0 可以推出
r1=r2=⋯=rt=0,r_1=r_2=\cdots=r_t=0,

那么称 SS 是 MM 的一个基.

定义

若左 RR-模 MM 有一个基, 则称 MM 是自由左 RR-模.

定理

设 MM 是一个自由左 RR-模, α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n 是 MM 的一个基. 设 M~\widetilde{M} 是任一左 RR-模, 任取 M~\widetilde{M} 的 nn 个元素 β1,β2,…,βn\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n. 令

σ:M→M~x=∑i=1nriαi↦∑i=1riβi,\begin{aligned} \sigma:M& \to & \widetilde{M}\\ x=\sum\limits{i=1}^n r_i\alpha_i & \mapsto & \sum\limits_{i=1}r_i\beta_i, \end{aligned}

则 σ\sigma 是模同态, 且 σ(αi)=βi\sigma(\alpha_i)=\beta_i. 并且满足把 αi\alpha_i 映成 βi\beta_i 的模同态是唯一的.

定理

设 MM 是一个以 α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n 为基的自由左 RR-模, 则 M≅RnM\cong R^n.

引理
定理

设 RR 是交换幺环, MM 是有有限基的自由模, 则 MM 的任意两个基所含元素个数相等.

定义

设 RR 是交换幺环, MM 是一个有有限基的自由模, 则 MM 的基所含的元素个数称为 MM 的\mydef[自由模的秩]{秩}.

定理

设 RR 是主理想整环, MM 是秩为 nn 的自由模, 则 MM 的任意子模 NN 也是自由模, 且 NN 的秩不超过 nn.

注

如果 RR 不是主理想整环, 那么自由模的子模不一定是自由模, 可参考下述例子.

例

设 R=Z6R=\Z_6, 则 RR 是秩为 11 的自由模, 但 2R={0,2,4}2R=\{0,2,4\} 是 RR 的子模却不是自由模.

可以发现 2R2R 中的元素自身就线性相关, 故均不在基中, 从而 2R2R 没有基.

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