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模

环上的模, 子模, 商模, 模同态 #

definition

设 $M$ 是一个 \Abel 加法群, $R$ 是幺环. 如果 $R\times M$ 到 $M$ 有一个映射: $(r,a)\mapsto ra$ , 并且满足下列 $4$ 条法则： $\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R$ , 有

(1) $r(a_1+a_2)=ra_1+ra_2$ .
(2) $(r_1+r_2)a=r_1a+r_2a$ .
(3) $(r_1r_2)a=r_1(r_2a)$ .
(4) $1a=a$ .

那么称 $M$ 是环 $R$ 上的一个左模或一个左 $R$ -模.

特别的, 幺环 $R$ 中的加法群 $(R,+)$ 是 $R$ 的一个左模, 称它为 $R$ 的左正则模或左正则 $R$ -模.

同样, 我们可以类似地定义右模.

definition

设 $M$ 是一个 \Abel 加法群, $R$ 是幺环. 如果 $R\times M$ 到 $M$ 有一个映射: $(r,a)\mapsto ra$ , 并且满足下列 $4$ 条法则： $\forall a_1,a_2,a\in M,r,r_1,r_2\in R$ , 有

(1) $(a_1+a_2)r=a_1r+a_2r$ .
(2) $a(r_1+r_2)=ar_1+ar_2$ .
(3) $a(r_1r_2)=(ar_1)r_2$ .
(4) $a1=a$ .

那么称 $M$ 是环 $R$ 上的一个右模或一个右 $R$ -模.

特别的, 幺环 $R$ 中的加法群 $(R,+)$ 是 $R$ 的一个右模, 称它为 $R$ 的右正则模或右正则 $R$ -模.

definition

设 $R$ 是交换幺环, $M$ 是 $R$ 的左模, 令

ar:=ra,\quad\forall a\in M,r\in R.

则 $M$ 也是右模, 此时称 $M$ 是 $R$ -模.

tip

设 $M$ 是幺环 $R$ 的左模, 则 $\forall r,r_1,\ldots,r_m\in R,a_1,a_2,\ldots,a_n\in M$ , 有

(1) $r0=0$ .
(2) $r(-a)=-ra$ .
(3) $0a=0$ .
(4) $(-r)a=-ra$ .
(5) $r\sum\limits_{i=1}^na_i=\sum\limits_{i=1}^n ra_i$ .
(6) $(\sum\limits_{i=1}^m r_i)a=\sum\limits_{i=1}^m r_ia$ .

definition

设 $M$ 是幺环 $R$ 的左模, $H$ 是 $M$ 的非空子集. 如果 $H<M$ , 并且对任意的 $r\in R,h\in H$ , 都有 $rh\in H$ . 那么称 $H$ 是 $M$ 的子模.

特别的, 我们称 $\{0\}$ 和 $M$ 是 $M$ 的平凡子模.

info

下面的研究均针对左模, 对于右模的结论可类似得到.

因而下述商模等定义可看作左商模等.

definition

设 $\{H_i\}$ 是 $M$ 的子模, 规定

H_1+H_2+\cdots+H_t:=\{h_1+h_2+\cdots+h_t|h_i\in H_i\}.

容易验证这是 $M$ 的一个子模, 称为子模的和.

如果 $H_1+H_2+\cdots+H_t$ 中每个元素的表示方式均唯一, 那么称之为\mydef[模的内直和]{内直和}.

definition

设 $M$ 和 $\widetilde{M}$ 是 $R$ 的两个左模, 如果存在一个群同态 $\eta$ , 并且 $\eta$ 和环 $R$ 的作用可交换, 即

\eta(rx)=r[\eta(x)],\quad \forall r\in R,x\in M.

那么称 $\eta$ 为模同态, 如果 $\eta$ 是群同构, 则称为模同构.

definition

类似群和环中的定义, 我们可以定义模对其子模的商模.

类似的, 我们也有下述定理.

tip

设 $M$ 和 $\widetilde{M}$ 都是左 $R$ -模, 若 $\eta$ 是模同态, 则 $\Ker\eta$ 是 $M$ 的一个子模, $\tIm$ 是 $\widetilde{M}$ 的一个子模, 且有

M/\Ker\eta\cong\tIm\eta.

自由模 #

definition

设 $R$ 是幺环, $M$ 是左 $R$ -模. 如果 $M$ 有一个子集 $S$ , 满足

(1) $M$ 中每个元素 $x$ 能表示成 $S$ 中有限多个元素的 $R$ -线性组合:

x=r_1\alpha_{i_1}+r_2\alpha_{i_2}+\cdots+r_m\alpha_{i_m},

其中 $\{\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\ldots,\alpha_{i_m}\}\subseteq S,\ r_1,r_2,\ldots,r_m\in R,m\in \mathbb{N}^*$ .

(2) $S$ 的任一有限子集 $S_1=\{\alpha_{j_1},\alpha_{j_2},\ldots,\alpha_{j_t}\}$ 是 $R$ -线性无关的, 即从 $r_1\alpha_{j_1}+r_2\alpha_{j_2}+\cdots+r_t\alpha_{j_t}=0$ 可以推出

r_1=r_2=\cdots=r_t=0,

那么称 $S$ 是 $M$ 的一个基.

definition

若左 $R$ -模 $M$ 有一个基, 则称 $M$ 是自由左 $R$ -模.

tip

设 $M$ 是一个自由左 $R$ -模, $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 是 $M$ 的一个基. 设 $\widetilde{M}$ 是任一左 $R$ -模, 任取 $\widetilde{M}$ 的 $n$ 个元素 $\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$ . 令

\begin{aligned} \sigma:M& \to & \widetilde{M}\\ x=\sum\limits{i=1}^n r_i\alpha_i & \mapsto & \sum\limits_{i=1}r_i\beta_i, \end{aligned}

则 $\sigma$ 是模同态, 且 $\sigma(\alpha_i)=\beta_i$ . 并且满足把 $\alpha_i$ 映成 $\beta_i$ 的模同态是唯一的.

tip

设 $M$ 是一个以 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 为基的自由左 $R$ -模, 则 $M\cong R^n$ .

tip

设 $R$ 是交换幺环, $M$ 是有有限基的自由模, 则 $M$ 的任意两个基所含元素个数相等.

definition

设 $R$ 是交换幺环, $M$ 是一个有有限基的自由模, 则 $M$ 的基所含的元素个数称为 $M$ 的\mydef[自由模的秩]{秩}.

tip

设 $R$ 是主理想整环, $M$ 是秩为 $n$ 的自由模, 则 $M$ 的任意子模 $N$ 也是自由模, 且 $N$ 的秩不超过 $n$ .

info

如果 $R$ 不是主理想整环, 那么自由模的子模不一定是自由模, 可参考下述例子.

example

设 $R=\Z_6$ , 则 $R$ 是秩为 $1$ 的自由模, 但 $2R=\{0,2,4\}$ 是 $R$ 的子模却不是自由模.

可以发现 $2R$ 中的元素自身就线性相关, 故均不在基中, 从而 $2R$ 没有基.

模

环上的模, 子模, 商模, 模同态 #

自由模 #

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