\

• (1) $A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\}$;
• (2) $B\times A=\{(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)\}$;
• (3) $B\times B=\{(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)\}$;
• (4) $2^B\times B=\{(\varnothing,a),(\varnothing,b),(\{a\},a),(\{a\},b),(\{b\},a),(\{b\},b),(\{a,b\},a),(\{a,b\},b)\}$.

\

$(a,c) \in (A\cap B)\times (C\cap D)\Leftrightarrow a\in A\cap B,c \in C\cap D\\ \Leftrightarrow (a,c) \in A\times C\wedge (a,c) \in B\times D \Leftrightarrow (a,c) \in (A\times C)\cap (B\times D)$

\

由 $R\subseteq A\times B=\{(1,a),(2,a),(3,a)\}$

得 $R:\varnothing,\{(1,a)\},\{(2,a)\},\{(3,a)\},\{(1,a),(2,a)\}, \\ \{(1,a),(3,a)\},\{(2,a),(3,a)\},\{(1,a),(2,a),(3,a)\}$.

\

• $R_1\cup R_2=\{(1,3),(2,2),(3,4),(1,4),(2,3)\}$;
• $R_1\cap R_2=\{(3,4)\}$;
• $R_2\backslash R_1=\{(1,4),(2,3)\}$;
• $R_2'=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)\}$;
• $\mathscr{D}(R_1)=\{1,2,3\}$;
• $\mathscr{D}(R_2)=\{1,2,3\}$;
• $\mathscr{R}(R_1)=\{3,2,4\}$;
• $\mathscr{R}(R_2)=\{4,3\}$;
• $\mathscr{D}(R_1\cup R_2)=\{1,2,3\}$;
• $\mathscr{R}(R_1\cap R_2)=\{4\}$;

\

$a\in \mathscr{D}(R_1 \cup R_2) \Leftrightarrow \exists b \in B,s.t. (a,b) \in R_1\cup R_2\Leftrightarrow (a,b)\in R_1 \vee (a,b)\in R_2 \Leftrightarrow a\in\mathscr{D}(R_1)\cup\mathscr{D}(R_2)$

$b\in \mathscr{R}(R_1\cap R_2) \Rightarrow \exists a\in A,s.t.(a,b) \in R_1\cap R_2 \Rightarrow (a,b) \in R_1 \wedge (a,b) \in R_2 \Rightarrow b \in \mathscr{R}(R_1)\wedge \mathscr{R}{R_2}\Rightarrow \mathscr{R}(R_1 \cap R_2)\subseteq \mathscr{R}(R_1) \cap \mathscr{R}(R_2)$.