有界变差函数

取

$$g(x)=\frac 1 2(\bigvee\limits_{a}^x (f)+f(x)),h(x)=\frac 12\bigvee\limits_{a}^x(f)-f(x).$$

由 $f(x)$ 连续, 可得

$$\forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\text{s.t.} |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon,\forall x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$$

以 $x>x_0$ 为例, 根据全变差的定义, 存在 $(x_0,x_0+\delta)$ 的一个分划 $\Delta:x_0<x_1<\cdots<x_n=x_0\delta$ 慢则

$$\bigvee\limits_{x_0}^{x_0+\delta}<\sum\limits_{j=1}^n|f(x_j)-f(x_{j-1})|+\frac \varepsilon 2$$

并且有

$$\sum\limits_{j=2}^n|f(x_j)-f(x_{j-1})|<\bigvee\limits_{x_1}^{x_0+\delta}$$

据此我们可以推出

$$\begin{aligned} \bigvee\limits_{x_0}^{x_1}(f)&=\bigvee\limits_{x_0}^{x_0+\delta}-\bigvee\limits_{x_1}^{x_0+\delta}\\ &<\sum\limits_{j=1}^n |f(x_j)-f(x_{j-1})|+\frac \varepsilon 2+\sum\limits_{j=2}^n |f(x_j)-f(x_{j-1})|\\ &=|f(x_1)-f(x_0)|+\frac \varepsilon 2<\varepsilon \end{aligned}$$

从而取 $\delta'=x_1$, 又 $\bigvee\limits_a^x(f)$ 单调, 则有 $|\bigvee\limits_a^x(f)-\bigvee\limits_a^{x_0}(f)|<\varepsilon,\forall x\in(x_0,x_0+\delta')$ 从而 $\bigvee\limits_a^x(f)$ 右连续, 同理可证其左连续.

导数可积性考虑对变差函数使用 Lebesgue 定理.