泛函分析-徐小绪：2025 / 251103

$\Vert f \Vert=\sup\limits_{x}\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}$.

对于

如果不要求 $x(t)\in C[0,1]$, 我们只要取 $x_0(t)=\frac{y(t)}{|y(t)|}$ 即可得到上界 $M$. 根据实变函数中的结论, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在连续函数 $g$ 使得 $\displaystyle\int_{0}^{1} |g(t)-x_0(t)|\text{d} t<\varepsilon/\Vert y \Vert$, 从而

从而说明存在一列 $x_n(t)$ 使得 $\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\to M$, 从而 $M=\displaystyle\int_{0}^{1} |y(t)|\text{d} t$ 就是上确界 $\Vert f \Vert$.

$\forall x\in\mathscr X-\lbrace 0\rbrace$, 取 $\alpha=\dfrac{1}{f(x)}$, 那么 $\alpha x$ 就满足 $f(\alpha x)=\alpha f(x)=1$, 从而 $\Vert \alpha x \Vert\geqslant d$, 即 $\dfrac{\Vert x \Vert}{\Vert f(x) \Vert}\geqslant d$.

所以 $d=\inf\left\lbrace\dfrac{\Vert x \Vert}{\Vert f(x) \Vert}|x\in \mathscr X\right\rbrace$, 故 $\dfrac{1}{d}=\sup\left\lbrace\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}|x\in\mathscr X\right\rbrace$, 即 $\Vert f \Vert=\dfrac{1}{d}$.

• ((1)) 线性性: $\forall x,y\in N(T),\alpha,\beta\in \mathbb{K}$, 有 $T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y)=0$, 从而 $\alpha x+\beta y\in N(T)$. 闭性: 由 $T$ 有界, 从而连续, 又 $\lbrace 0\rbrace$ 是 $\mathscr Y$ 中的闭集, 所以 $T^{-1}(\lbrace 0\rbrace )$ 是闭集. 故 $N(T)$ 是闭线性子空间.
• ((2)) 任取一个无界的线性泛函 $T_0:\mathscr X\to\mathscr Y$, 设 $T:\mathscr X\to\mathscr X\times \mathscr Y, T(x)=(x,T_0(x))$. 取范数 $\Vert T(x) \Vert=\Vert x \Vert+\Vert T_0(x) \Vert$ 不难验证满足范数定义. 而 $N(T)=\lbrace 0\rbrace$, 因为第一维 $x$ 的限制. 又 $T_0$ 无界, 设 $D\subset\mathscr X$ 使得 $T_0(D)$ 无界, 那么 $T(D)$ 也是无界的, 因为 $\Vert T(x) \Vert\geqslant \Vert T_0(x) \Vert$.
• ((3)) $\Rightarrow$: 这部分由 (1) 可知. $\Leftarrow$: 反设 $f$ 无界, 则 $\forall n\in \Z_+$ 存在 $x_n\in\mathscr X$, 使得

于是 $\lbrace x_n-x_1\rbrace \subset N(f)$ 且 $\Vert (x_n-x_1)-(-x_1) \Vert\to 0$. 但 $f(-x_1)=-1$, 即 $-x_1\notin N(f)$ 这与 $N(f)$ 是闭的矛盾.

• ((1)) 我们考虑 $A=\lbrace x-z: z\in H_f^0\rbrace$ 究竟是什么集合. 我们记 $M=|f(x)|$, 首先 $|f(x-z)|=|f(x)-0|=M$, 所以 $A\subset H_f^M$, 此外 $\forall y\in H_f^M$, 我们有 $x-y\in H_f^0$, 所以 $x-(x-y)=y\in A$, 即 $A=H_f^M$. 因此我们只需证 $|f(x)|=\inf\lbrace \Vert x \Vert: x\in H_f^{|f(x)|}\rbrace$. 一方面由 $\Vert f \Vert=1$, $\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\leqslant 1$, $\forall x\in\mathscr X$. 所以 $\Vert f(x) \Vert\leqslant\Vert x \Vert$. 即 $\Vert f(x) \Vert$ 是下界. 另一方面, 根据上确界的定义, 存在一列 $\lbrace x_n\rbrace$ 满足 $\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert x \Vert}\to 1$, 那么取 $y_n=\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert f(x_n) \Vert}x_n$, 那么 $\dfrac{\Vert f(y_n) \Vert}{\Vert y_n \Vert}=\dfrac{\Vert f(x_n) \Vert}{\Vert x_n \Vert}\to 1$, 且 $\Vert f(y_n) \Vert=\dfrac{\Vert f(x) \Vert}{\Vert f(x_n) \Vert}\Vert f(x_n) \Vert=\Vert f(x) \Vert$. 于是 $y_n\in H_f^M$ 且 $\Vert f(y_n) \Vert\to \Vert f(x) \Vert$. 即 $\Vert f(x) \Vert$ 就是下确界. 综上 $\Vert f(x) \Vert=\inf\lbrace \Vert x-z \Vert|\forall z\in H_f^0\rbrace$.
• ((2)) $\rho(x,H_f^0)=\inf\lbrace \Vert x-z \Vert|\forall z\in H_f^0\rbrace =|f(x)|=|\lambda|$. 对 $x=(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2$, 设 $f((1,0))=e_1,f((0,1))=e_2$, 则 $f(x)=f(\alpha(1,0)+\beta(0,1))=\alpha e_1+\beta e_2$, 所以 $H_f^\lambda=\lbrace (\alpha,\beta)|\alpha e_1+\beta e_2=\lambda\rbrace$ 就是一条直线. 所以 (1) 和 (2) 指的就是点线和线线的距离.

反设存在 $B(x_0,\delta)$, 使得 $f(x_0)$ 是极大值.

那么 $f(x)\leqslant f(x_0)$ 即 $f(x-x_0)\leqslant 0$. 所以 $f(x)\leqslant 0,\forall x\in B(0,\delta)$. 根据线性性, 可以依次推出在整个定义域上都有 $f(x)\leqslant 0$, 因为可以反复取 $f(x)=2f(x/2)$ 直到 $\Vert x/2^k \Vert<\delta$.

从而必须有 $f(x)=0$, 否则若 $f(x)<0$, 则 $f(-x)>0$ 矛盾.

故假设矛盾.

极小值同理, 可以推出在整个定义域上非负从而恒为 0.