积分表

二次根式积分 #

以下设 $a>0$，$C$ 为积分常数。

根号内为和 #

对任意 $x\in\mathbb{R}$，

$$\begin{aligned} \int\sqrt{x^2+a^2}\,\mathrm{d}x &=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}\\ &\quad+\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C. \end{aligned}$$

根号内为差 #

在 $(-\infty,-a)$ 或 $(a,\infty)$ 上分别有

$$\begin{aligned} \int\sqrt{x^2-a^2}\,\mathrm{d}x &=\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}\\ &\quad-\frac{a^2}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C. \end{aligned}$$

两个区间上的积分常数可以不同；对数的绝对值不能在负半轴上省略。

未完成条目

另有一条记录仅为 \mint1 &1，缺少变量与完整公式，暂不能作为积分条目使用。