偏微分方程：波动方程 / 一阶线性方程的特征线解法

对初值问题

$$\begin{cases} u_t+a(x)u_x=f(x,t),\\ u(x,0)=\varphi(x) \end{cases}$$

求解 $u(x,t)$.

逐点求解 $\forall x_0,t_0$ 考虑曲线 $l:\begin{cases} \frac{\text{d} x}{\text{d} t}=a(x)\\ x(0)=c_0 \end{cases}$ 过 $(x_0,t_0)$, 可以求出 $c_0=g(x_0,t_0)$.

将 $u$ 视作只关于 $t$ 的函数, 则在该曲线上满足 $\frac{\text{d} u}{\text{d} t}=u_t+a(x)u_x=f(x,t)$. 此时 $x=x(t)$ 由 $l$ 给出. 故可求解 ODE

$$\frac{\text{d} u}{\text{d} t}=f(x(t),t)$$

满足初值 $u(x(0),0)=\varphi(x(0))$, 即可求得 $u(x_0,t_0)$. 仅由 $x_0,t_0$ 表示, 从而可以写作 $u(x,t)$.