运筹学：第 5 次作业

Homework 5 #

1 #

一个商店经销白糖（可任意分割），每周顾客对白糖的需求量 X（单位：公斤）在区间 [10,30] 上服从均匀分布。商店每售出一公斤白糖可获利 500 元；若供大于求，每处理一公斤白糖亏损 100 元；若供不应求，商店可从外部调剂供应，这时每公斤白糖获利 300 元。如何确定进货量，才能使商店所获平均利润达到最大。建立完整的随机优化模型，解出最优解。

答案

设进货量是 $q$ , $q\geqslant 0$ .

则利润为 $\pi(q,x)=\begin{cases} 600x-100q, & q\geqslant x\\ 300x+200q, & q\leqslant x \end{cases}$

(1) $0\leqslant q \leqslant 10$ : 此时总是缺货 $\pi(q,x)=300x+200q$

$E(\pi(q,x))=E(300x)+200q$ .

当 $q=10$ 时取最大值 $8000$ .

(2) $10<q<30$ : 经积分计算此时期望为

E[\pi(q,x)]=-7.5q^2+350q+5250.

当 $q=\frac{70}{3}$ 的时候取最大值, 利润为 $9333+\frac13$ .

(3) $q\geqslant 30$ : 此时总是剩余, 当 $q=30$ 时期望最大 $E[\pi(q,x)]=9000$ .

综上, 全局最优为 $q=\frac{70}{3},\quad E[\pi(q,x)]=\frac{28000}3$ .

2 #

某食品商店经营一种饼干，其进货价是 2.5 元/千克，销售价是 4.9 元/千克，当天卖不掉的以 1.5 元/千克处理掉，据市场调查，每天的需求量可能为 10，15，20，25，30 千克，对应的概率分别为 0.1，0.2，0.4，0.2，0.1，如何采购使得期望利润最大。建立完整的随机优化模型，解出最优解。

答案

设采购量为 $q$ , 需求为 $X$ .

根据报童模型临界比率 $\frac{p-c}{p-v}=\frac{4.9-2.5}{4.9-1.5}=0.70588$ .

结合需求量的概率 $F(25)=0.9>0.705, F(20)=0.7<0.705$ 最小的 $q=25$ . 此时期望为 $E[\pi]=41.3$

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