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第八次 #

P137/1

P143/7,8,9,10

P154/7,8

P192/20,23,24

P137/1: 设 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x)$ 是 $E$ 上的非负可积函数, 则 [(i)]

$F(x)=\left(\sum\limits_{k=1}^m (f_k(x))^2\right)^{1/2}$ 在 $E$ 上可积;
$G(x)=\sum\limits_{1\leqslant i,k\leqslant m}(f_i(x)f_k(x))^{1/2}$ 在 $E$ 上可积.

note

(i) $F(x)\leqslant\sum\limits_{k=1}^m f_k(x)$ 故可积;

(ii) $G(x)\leqslant \sum\limits_{1\leqslant i,k\leqslant m}\dfrac{f_i(x)+f_k(x)}2$ 故可积.

P143/7: 设 $f^3(x)$ 是 $E(m(E)<+\infty)$ 上的非负可积函数, 则 $f^2(x)$ 在 $E$ 上可积.

note

对定义域分类, 设 $E_1=\{x\in E:f(x)>1\},E_2=\{x\in E:f(x)\leqslant 1\}$ , 于是取 $F(x)=\begin{cases} f^3(x) & x\in E_1 \\ 1 & x\in E_2 \end{cases}$ 则 $\displaystyle\int_E F(x)\text{d} x=\int_{E_1} f^3(x)\text{d} x+m(E_2)<+\infty$ , 又 $f^2<F$ , 故 $f^2$ 可积.

P143/8: 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上非负可测, 则 $f^3(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积当且仅当

\sum\limits_{n=1}^{\infty} n^2 m(\{x \in [a,b]: f(x) \geqslant n\}) < +\infty.

note

根据书本定理, $f^3(x)$ 可积当且仅当级数 $\sum\limits_{k=0}^\infty k^3 m(E_k)<+\infty$ , 其中 $E_k=\{x\in E: k\leqslant f(x)<k+1\}$ .

而根据题目

\begin{aligned} &\sum\limits_{n=1}^\infty n^2 m(\{x\in[a,b]:f(x)\geqslant n\}) \\ &=\sum\limits_{n=1}^\infty n^2 \sum\limits_{k=n}^\infty m(E_k) \\ &=\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{n=1}^k n^2 m(E_k) \\ &=\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac {k^3}{3}+\frac{k^2}{2}+\frac{k}{6})m(E_k) \end{aligned}

又 $\sum\limits_{k=0}^\infty km(E_k),\sum\limits_{k=0}^\infty k^2m(E_k)$ 受 $\sum\limits_{k=0}^\infty k^3m(E_k)$ 控制, 所以

\sum\limits_{k=0}^\infty k^3m(E_k)<+\infty\Leftrightarrow \sum\limits_{n=1}^\infty n^2m(\{x\in [a,b]:f(x)\geqslant n\})<+\infty.

P143/9: 设 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的非负可测函数列. 若有

\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x) = f(x),\quad f_k(x) \leqslant f(x)\quad (x \in E; k=1,2,\cdots),

则对 $E$ 的任一可测子集 $e$ , 有

\lim\limits_{k \to \infty} \int_e f_k(x) \text{d} x = \int_e f(x) \text{d} x.

note

由 $f_k(x)\leqslant f(x)$ , 可得 $\displaystyle\int_e f_k(x)\text{d} x \leqslant \int_e f(x)\text{d} x$ 对两侧取上极限

\varlimsup\limits_{k\to\infty}\int_e f_k(x)\text{d} x\leqslant \int_e f(x)\text{d} x.

又有 $\displaystyle\int_e f(x)\text{d} x=\int_e \lim\limits\limits_{k\to\infty} f_k(x)\text{d} x$ 根据 Fatou 引理

\int_e f(x)\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty} \int_e f_k(x)\text{d} x\leqslant \varlimsup\limits_{k\to\infty} \int_e f_k(x)\text{d} x\leqslant\int_e f(x)\text{d} x

于是

\varliminf\limits_{k\to\infty} \int_e f_k(x)\text{d} x= \varlimsup\limits_{k\to\infty} \int_e f_k(x)\text{d} x=\int_e f(x)\text{d} x

即

\lim\limits_{k \to \infty} \int_e f_k(x) \text{d} x = \int_e f(x) \text{d} x.

P143/10: 设 $\{E_n\} \subset [0,1]$ 是可测集列. 若 $m(\varlimsup\limits_{n \to \infty} E_n) = 0$ , 则对任给的 $\varepsilon>0$ , 存在 $[0,1]$ 的可测子集 $A$ , 使得 $m([0,1]\setminus A)<\varepsilon$ , 且有

\sum\limits_{n=1}^{\infty} m(A \cap E_n) < +\infty.

(注意 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\chi_{E_n}(x) < +\infty, \text{a.e. } x\in[0,1]$ .)

note

由 $m(\varlimsup\limits_{k\to\infty}E_k)=0$ , 可知 $\sum\limits_{n=1}^\infty \Chi_{E_n}(x)<+\infty.\mae x\in [0,1]$ , 否则对不收敛的点集其均含于该上极限, 故测度非零.

所以有 $\sum\limits_{n=1}^\infty m(A\cap E_n)=\sum\limits_{n=1}^\infty \int_{A}\Chi_{E_n}(x)\text{d} x = \int_A\sum\limits_{n=1}^\infty \Chi_{E_n}(x)\text{d} x$ . 由 $\sum\limits_{n=1}^\infty\Chi_{E_n}(x)$ 几乎处处有限, 根据局部有界化, 我们可以找到 $A$ , 使该函数有界, 且满足题目条件. 于是该和式有界.

P154/7: 设 $f\in L(\mathbb{R}),g\in L(\mathbb{R})$ , 且有

\int_{[a,x]} f(t)\text{d} t=\int_{[a,x]} g(t)\text{d} t,\quad x\in \mathbb{R},

则 $f(x)=g(x),\ \mathrm{a.e.}\ x\in\mathbb{R}$ .

note

由题设可知

\int_{[a,x]}f(t)-g(t)\text{d} x=0,\ x\in\mathbb{R}

由书本例题知 $f(t)-g(t)=0,\mae x\in \mathbb{R}$ .

P154/8: 设 $f\in L(\mathbb{R})$ . 若对 $\mathbb{R}$ 上任意的有界可测函数 $\varphi(x)$ , 都有

\int_{\mathbb{R}} f(x)\varphi(x)\text{d} x=0,

则 $f(x)=0,\mathrm{a.e.}\ x\in\mathbb{R}$ .

note

取 $\varphi(x)=\dfrac{f(x)}{1+|f(x)|}$ 即可.

P192/20: 设 $\{f_k(x)\}$ 是 $E$ 上的非负可积函数列, 且 $f_k(x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x) \equiv 0$ . 若有

\int_E \max\{f_1(x), f_2(x), \cdots, f_k(x)\}\text{d} x \leqslant M \quad (k=1,2,\cdots),

试证明

\lim\limits_{k \to \infty} \int_E f_k(x)\text{d} x = 0.

note

设 $F_k(x)=\max\{f_1(x),f_2(x),\cdots,f_k(x)\}$ . 则有 $F_k(x)$ 非负渐升, 故极限有意义设 $F(x)=\lim\limits_{k\to\infty} F_k(x)$ . 根据 Fatou 引理有

\int_E F(x)\text{d} x\leqslant\varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E F_k(x)\leqslant M,

于是 $F(x)\in L(E)$ , 从而 $|f_k(x)|\leqslant F(x)$ , 满足控制收敛定理, 所以 $\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x = 0$ .

P192/23: 设 $f \in L(\mathbb{R}^n), f_k \in L(\mathbb{R}^n)$ ( $k=1,2,\cdots$ ), 且对于任一可测集 $E \subset \mathbb{R}^n$ , 有

\int_E f_k(x) \text{d} x \leqslant \int_E f_{k+1}(x) \text{d} x \quad (k=1,2,\cdots),

\lim\limits_{k \to \infty} \int_E f_k(x) \text{d} x = \int_E f(x) \text{d} x,

试证明

\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x) = f(x), \quad \text{a.e. } x \in \mathbb{R}^n.

note

由题设 $f_k(x)\leqslant f_{k+1}(x),\mae x\in E$ .

定义 $F_k(x)=f_k(x)-f_1(x)$ 是非负渐升可测列, 则由 Beppo Levi 有

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E F_k(x)\text{d} x=\int_E\lim\limits_{k\to\infty}F_k(x)\text{d} x.

于是

\int_E f(x) \text{d} x=\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)\text{d} x,\quad\forall E\subset \mathbb{R}^n

故我们可以得到

\lim\limits_{k\to\infty} f_k(x)=f(x),\ \mae x\in\mathbb{R}^n.

P192/24: 设 $\{f_k(x)\},\{g_k(x)\}$ 是 $E \subset \mathbb{R}^n$ 上的两个可测函数列, 且有 $|f_k(x)| \leqslant g_k(x), x \in E$ . 若

\lim\limits_{k \to \infty} f_k(x) = f(x),\quad \lim\limits_{k \to \infty} g_k(x) = g(x),

\lim\limits_{k \to \infty} \int_E g_k(x) \text{d} x = \int_E g(x) \text{d} x < +\infty,

试证明

\lim\limits_{k \to \infty} \int_E f_k(x) \text{d} x = \int_E f(x) \text{d} x.

note

有 $\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int_E |g_k(x)-g(x)|\text{d} x = 0$ .

第八次 #

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