数学分析：实数理论 / 确界原理

设 $A_n=(-\infty,n] \cap A$, $B_n =(-\infty,n]\cap B$.

由 $A,B$ 非空, 可知存在 $n$, 使得 $A_n,B_n$ 均非空.

记 $a=\sup A_n,b=\sup B_n$, 显然有 $a,b\leqslant n$.

由 $A\cup B=n$, 不妨设 $n\in A$, 即 $a=n$.

下面考虑 $b$.

• 若 $b \notin B$, 由 $\sup$ 的定义, $b$ 是 $B$ 的聚点, 但 $b\in A$. $A$ 中有 $B$ 的聚点.
• 若 $b \in B$, 则 $b<n$. $\exists k_0, \ s.t.\ k \geq k_0$ 有 $b+\frac 1 k \leqslant n$, 则 $b+\frac 1 k\in A$, 从而对任意包含 $b$ 的开区间 $(x,y)$, 可以找到这样一个 $k=\max\{k_0,\lceil\frac{1}{y-b}\rceil\}$ 使得 $b+\frac 1 k\in A$, 即 $b$ 是 $A$ 的聚点. $B$ 中有 $A$ 的聚点.