确界原理 | nan2inf.cn

确界原理 #

练习

设 $A$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个非空子集, $a$ 是一个实数, 若包含 $a$ 的每个开区间都含有 $A$ 中异于 $a$ 的元素, 则称 $a$ 是 $A$ 的聚点.

现设 $A, B$ 均不是空集, 满足 $A \cup B = \mathbb{R}$ 以及 $A \cap B = \varnothing$ .

证明: 或者 $A$ 含有 $B$ 的聚点, 或者 $B$ 含有 $A$ 的聚点.

证明

设 $A_n=(-\infty,n] \cap A$ , $B_n =(-\infty,n]\cap B$ .

由 $A,B$ 非空, 可知存在 $n$ , 使得 $A_n,B_n$ 均非空.

记 $a=\sup A_n,b=\sup B_n$ , 显然有 $a,b\leqslant n$ .

由 $A\cup B=n$ , 不妨设 $n\in A$ , 即 $a=n$ .

下面考虑 $b$ .

若 $b \notin B$ , 由 $\sup$ 的定义, $b$ 是 $B$ 的聚点, 但 $b\in A$ . $A$ 中有 $B$ 的聚点.
若 $b \in B$ , 则 $b<n$ . $\exists k_0, \ s.t.\ k \geq k_0$ 有 $b+\frac 1 k \leqslant n$ , 则 $b+\frac 1 k\in A$ , 从而对任意包含 $b$ 的开区间 $(x,y)$ , 可以找到这样一个 $k=\max\{k_0,\lceil\frac{1}{y-b}\rceil\}$ 使得 $b+\frac 1 k\in A$ , 即 $b$ 是 $A$ 的聚点. $B$ 中有 $A$ 的聚点.