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实变函数：Lebesgue积分 / 可积函数与连续函数的关系

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可积函数与连续函数的关系 #

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若 f∈L(E)f\in L(E), 则对任给 ε>0\varepsilon>0, 存在 Rn\mathbb{R}^n 上具有紧支集的连续函数 g(x)g(x), 使得

∫E∣f(x)−g(x)∣dx<ε.\int_E |f(x)-g(x)|\text{d} x<\varepsilon.
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若 f∈L(Rn)f\in L(\mathbb{R}^n), 则有

lim⁡h→0∫Rn∣f(x+h)−f(x)∣dx=0.\lim\limits_{h\to 0}\int_{\mathbb{R}^n} |f(x+h)-f(x)|\text{d} x=0.

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