泛函分析（徐小绪）：稠密集、疏集与 Baire 纲定理

定义稠密子集

设 $(\mathscr X,\rho)$ 是度量空间， $E\subset\mathscr X$ 。若对任意 $x\in\mathscr X$ 和 $\varepsilon>0$ ，都存在 $z\in E$ 使得 $\rho(z,x)<\varepsilon$ ，则称 $E$ 在 $\mathscr X$ 中稠密。

例有理数的稠密性

$\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 中稠密。

定义疏集

设 $E\subset\mathscr X$ 。若闭包 $\overline E$ 没有内点，则称 $E$ 为疏集（nowhere dense set）。

定理疏集的等价刻画

$E$ 是疏集，当且仅当任意开球 $B(x_0,r_0)$ 中都存在开球 $B(x,r)\subset B(x_0,r_0)$ ，使得 $\overline E\cap\overline{B(x,r)}=\varnothing$ 。

证明

若 $E$ 是疏集，则 $\mathscr X\setminus\overline E$ 稠密且开。任取 $B(x_0,r_0)$ ，可先在其中选取一点 $x\notin\overline E$ ，再利用开性选取足够小的 $r>0$ ，使 $\overline{B(x,r)}\subset B(x_0,r_0)\setminus\overline E$ 。

反之，若 $\overline E$ 有非空内点，则存在开球 $B(x_0,r_0)\subset\overline E$ 。等价条件又要求其中存在与 $\overline E$ 不交的闭球，矛盾。

定义第一纲集与第二纲集

若 $E=\bigcup_{n\geqslant 1}E_n$ ，其中每个 $E_n$ 都是疏集，则称 $E$ 为第一纲集；不是第一纲集的集合称为第二纲集。

例有理数是第一纲集

$\mathbb{Q}$ 是可数个单点集的并，而每个单点集在 $\mathbb{R}$ 中都是疏集，因此 $\mathbb{Q}$ 是第一纲集。

定理处处不可微函数的典型性

在 $C[0,1]$ 中，处处不可微的函数集合非空；其补集是第一纲集。

定理 Baire 纲定理

完备度量空间是第二纲集。

证明

反设完备度量空间 $\mathscr X=\bigcup_{n\geqslant1}E_n$ ，其中每个 $E_n$ 都是疏集。依次选取非空闭球 $\overline{B(x_n,r_n)}$ ，使它们彼此嵌套、 $r_n<2^{-n}$ ，并且 $\overline{B(x_n,r_n)}\cap\overline E_n=\varnothing$ 。

这些闭球的直径趋于零。由完备性及闭球套定理，它们有唯一公共点 $x$ 。但 $x$ 不属于任何 $E_n$ ，与 $\mathscr X=\bigcup_{n\geqslant1}E_n$ 矛盾。

泛函分析（徐小绪）：稠密集、疏集与 Baire 纲定理

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