一般可测函数的积分

定理积分的绝对连续性

若 $f\in L(E)$ , 则对任给的 $\varepsilon>0$ , 存在 $\delta>0$ , 使得当 $E$ 中子集 $e$ 的测度 $m(e)<\delta$ 时, 有

\left|\int_e f(x)\text{d} x\right|\leqslant \int_e \left|f(x)\right| \text{d} x<\varepsilon.

证明

不妨设, $f(x)$ 非负, 对给定的 $\varepsilon>0$ , 存在可测函数 $\varphi(x),\ 0\leqslant \varphi(x)\leqslant f(x)\ (x\in E),$ 使得

\int_E(f(x)-\varphi(x))\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x-\int_E \varphi(x)\text{d} x<\frac \varepsilon 2.

现设 $\varphi(x)\leqslant M$ , 取 $\delta=\varepsilon/(2M)$ , 则当 $e\subset E$ , 且 $m(e)<\delta$ 时, 就有

\int_e f(x)\text{d} x=\int_e f(x)\text{d} x-\int_e \varphi(x)\text{d} x + \int_e\varphi(x)\text{d} x\leqslant \varepsilon.

定理控制收敛定理

设 $f_k\in L(E)$ , 且有

\lim\limits_{k\to\infty}f_k(x)=f(x),\mae x\in E.

若存在 $E$ 上的可积函数 $F(x)$ , 使得

|f_k(x)|\leqslant F(x),\quad \mae x\in E,

则

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.

证明

先说明 $f(x)$ 可积, 由 $\mae$ 收敛可知 $f(x)$ 可测, 又 $|f(x)|\leqslant F(x)$ 故可积.

设 $g_k(x)=|f_k(x)-f(x)|\leqslant 2F(x)$ , 于是 $2F(x)-g_k(x)$ 非负, 对其使用 Fatou 引理

\int_E\lim\limits_{k\to\infty} (2F(x)-g_k(x))\text{d} x\leqslant \varliminf\limits_{k\to\infty}\int_E (2F(x)-g_k(x))\text{d} x

又每个 $g_k(x)$ 均可积, 我们有

-\int_E\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)\text{d} x\leqslant - \varlimsup\limits_{k\to\infty} \int_E g_k(x)\text{d} x

即 $\displaystyle\varlimsup\limits_{k\to \infty}\int_Eg_k(x)\text{d} x = 0$ .

于是

\lim\limits_{k\to\infty}|\int_E f_k(x)-f(x)\text{d} x|\leqslant \lim\limits_{k\to\infty}\int_E g_k(x)\text{d} x =0.

定理依测度收敛型控制收敛定理

设 $f_k\in L(\mathbb{R}^n)$ , 且 $f_k(x)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上依测度收敛于 $f(x)$ . 若存在 $F\in L(\mathbb{R}^n)$ , 使得

|f_k(x)|\leqslant F(x),\quad \mae x\in\mathbb{R}^n,

则 $f\in L(\mathbb{R}^n)$ , 且有

\lim\limits_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^n}f_k(x)\text{d} x=\int_{\mathbb{R}^n} f(x)\text{d} x.

推论

对于 $E$ 上依测度收敛于 $f\in L(E)$ 的非负可积函数列 $\{f_k(x)\}$ , 若有

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E f_k(x)\text{d} x = \int_E f(x)\text{d} x,

则

\lim\limits_{k\to\infty}\int_E|f_k(x)-f(x)|\text{d} x=0.

证明

构造函数 $g_k(x)=f(x)+f_k(x)-|f(x)-f_k(x)|$ 易知 $g_k(x)$ 非负, 利用 Riesz 找出一个几乎处处收敛的子列, 于是有 $\lim\limits_{j\to\infty}g_{k_j}(x)=2f(x)-|f(x)-f(x)|=2f(x)$ .

对 $g_k(x)$ 使用 Fatou

\int_E\varliminf\limits_{j\to\infty}g_{k_j}(x)\text{d} x\leqslant\varliminf\limits_{j\to\infty}\int_E g_{k_j}(x)\text{d} x

于是得到

\begin{aligned} \int_E 2f(x)\text{d} x&\leqslant\varliminf\limits_{j\to\infty}\int_E f_k(x)+f(x)-|f_k(x)-f(x)|\text{d} x\\ &=\int_E f(x)\text{d} x + \varliminf\limits_{j\to\infty}\int_Ef_{k_j}(x)\text{d} x+\varliminf\limits_{j\to\infty}\int_E-|f_k(x)-f(x)|\text{d} x \end{aligned}

又 $\displaystyle\lim\limits_{k\to\infty}\int_Ef_k(x)\text{d} x = \int_E f(x)\text{d} x$ 可得

0\leqslant-\varlimsup\limits_{j\to\infty}\int_E|f_{k_j}(x)-f(x)|\text{d} x.

推论逐项积分定理

设 $f_k\in L(E)$ . 若有

\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E|f_k(x)|\text{d} x<+\infty,

则 $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ 在 $E$ 上几乎处处收敛; 若记其和函数为 $f(x)$ , 则 $f\in L(E)$ , 且有

\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x=\int_E f(x)\text{d} x.

证明

作函数 $F(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty|f_k(x)|$ , 由非负可测函数的逐项积分定理可知 $F(x)\in L(E)$ , 从而 $F(x)$ 几乎处处有限, 即 $\sum\limits_{k=1}^\infty f_k(x)$ 几乎处处收敛.

又 $|f(x)|\leqslant \sum\limits_{k=1}^\infty |f_k(x)|=F(x),\mae x\in E$ , 可知 $f\in L(E)$ .

再令 $g_m(x)=\sum\limits_{k=1}^m f_k(x)$ , $|g_m(x)|\leqslant F(x)$ 于是由控制收敛定理可知

\int_E f(x)\text{d} x=\int_E\lim\limits_{m\to\infty}g_m(x)\text{d} x = \lim\limits_{m\to\infty}\int_E g_m(x)\text{d} x=\sum\limits_{k=1}^\infty \int_E f_k(x)\text{d} x.

定理积分号下求导

设 $f(x,y)$ 是定义在 $E\times(a,b)$ 上的函数, 它作为 $x$ 的函数在 $E$ 上的是可积的, 作为 $y$ 的函数在 $(a,b)$ 上的是可微的. 若存在 $F\in L(E)$ , 使得

\left|\frac{\text{d}}{\text{d} y}f(x,y)\right|\leqslant F(x),

则

\frac{\text{d}}{\text{d} y}\int_E f(x,y)\text{d} x=\int_E \frac{\text{d} }{\text{d} y}f(x,y)\text{d} x.

证明

从定义出发

|\frac{f(x,y+d_k)-f(x,y)}{d_k}|\leqslant F(x)

利用控制收敛定理可得结论.

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